¿Qué tiene de especial el número e de Euler?

Answer 1

El número e es un famoso número irracional, y es uno de los números más importantes en matemáticas.
Los primeros dígitos son:
2.7182818284590452353602874713527

Hay muchas formas de calcular el valor de e , pero ninguna de ellas da una respuesta exacta, porque e es irracional (no la razón de dos enteros).
¡Pero se sabe que tiene más de 1 billón de dígitos de precisión!
Por ejemplo, el valor de (1 + 1 / n) n se aproxima a e a medida que n se hace más y más grande:
A menudo, el número e aparece en lugares inesperados.
Por ejemplo, e se usa en la capitalización continua (para préstamos e inversiones):
Fórmula para la capitalización continua
¿Por qué pasa eso?
Bueno, la fórmula para la composición periódica es:
FV = PV (1 + r / n) n
donde FV = valor futuro
PV = valor presente
r = tasa de interés anual (como decimal)
n = número de períodos
Pero, ¿qué sucede cuando el número de períodos se dirige al infinito?
La respuesta radica en la similitud entre:
(1 + r / n) nand (1 + 1 / n) nCompuesto Fórmula e (cuando n se acerca al infinito)
Al sustituir x = n / r:

• r / n se convierte en 1 / x y
• n se convierte en xr

Y entonces:
(1 + r / n) se convierte en (1+ (1 / x)) xr
Que es igual que la fórmula para e (cuando n se acerca al infinito) , con un r adicional como exponente.
Entonces, cuando x va al infinito, entonces (1+ (1 / x)) xr va a er
¡Y es por eso que e aparece en los cálculos de interés!
Trascendental
e es también un número trascendental .

Answer 2

Es la respuesta a la pregunta: ¿Qué función se convertirá en su propia derivada?

Digamos que no sabías qué era [matemáticas] e [/ matemáticas], pero querías averiguarlo. Solo tenía en mente la pregunta anterior para que [matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas], y sabía que deseaba el resultado [matemáticas] f ‘(x) = e ^ x [/ matemáticas] . Ahora usa el método estándar para encontrar la derivada.

(Solo para aclarar, suponga que todavía no sabemos qué es exactamente [matemáticas] e [/ matemáticas] , y que podría haber escrito una letra completamente diferente, como [matemáticas] a [/ matemáticas] o [matemáticas] u [/ math] . Lo que deseamos es un resultado específico. Solo uso [math] e [/ math] porque la gente está acostumbrada. No estoy tratando de demostrar que [math] e = e [/ math] . Estoy tratando de demostrar por qué [matemáticas] e [/ matemáticas] es el número y cuáles son los efectos)

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} = f ‘(x) [/ matemáticas]

Ok, de nuevo, la función es [matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas], y el resultado que queremos es, bueno, el mismo [matemáticas] f ‘(x) = f (x) = e ^ x [/ matemáticas]. Vamos a escribir eso.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {e ^ {x + h} -e ^ x} {h} = e ^ x [/ matemáticas].

Ahora no voy a proceder con un enfoque matemático súper estricto. Voy a hacer esto de una manera más explicativa.

Primero, elimine [math] e ^ x [/ math] en ambos lados. No depende de [matemáticas] h [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {e ^ {h} -1} {h} = 1 [/ matemáticas].

Multiplique con [matemáticas] h [/ matemáticas] en ambos lados. Y use el “límite de cosas” en ambos lados ya que tenemos [matemáticas] h [/ matemáticas] en ambos lados y queremos que se acerque a cero.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} e ^ {h} -1 = \ lim_ {h \ a 0} h [/ matemáticas].

Ahora agregue [math] 1 [/ math] a ambos lados.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} e ^ {h} = \ lim_ {h \ a 0} 1 + h [/ matemáticas].

Ok, para obtener [math] e [/ math] solo en el lado izquierdo, tomamos la raíz h: th en ambos lados. Y al igual que [math] x ^ {10} [/ math] y tomar la raíz 10: th podría escribirse como [math] (x ^ {10}) ^ {\ frac {1} {10}} [/ math ] tomaremos [matemáticas] (e ^ h) ^ {\ frac {1} {h}} [/ matemáticas]. Entonces obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} e = \ lim_ {h \ a 0} (1 + h) ^ {\ frac {1} {h}} [/ matemáticas].

Ahora, antes que nada, [math] e [/ math] en el lado izquierdo ya no depende de [math] h [/ math], así que ignoraré escribir el límite. Segundo, en lugar de tener [matemáticas] 1 / h [/ matemáticas], lo reescribiré más fácilmente a [matemáticas] n = \ frac {1} {h} [/ matemáticas]. Entonces, cuando [math] h [/ math] se aproxima a cero, [math] n [/ math] se acercará al infinito. Y reescrito tendremos [math] h = \ frac {1} {n} [/ math]. Como resultado, cuando [math] h [/ math] se acerca a cero, será lo mismo que dividir [math] 1 [/ math] con infinito. Explicaré más abajo por qué hago esto.

Vamos a escribir esto.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ {n} = e [/ math]

Así que ahora, solo conecte un gran número. Diga [matemáticas] n = 1 \, 000 \, 000 [/ matemáticas]. Esto nos da

[matemáticas] e = 2.718280469 [/ matemáticas]

que en realidad está bastante cerca

Quería cambiar [matemática] h [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática] en el límite porque es más fácil escribir un número grande que contar cuántos ceros tienes en tu forma decimal si quisieras usar [matemáticas] h [/ matemáticas] acercándose a cero.

¿Ahora qué hemos mostrado?

Hemos demostrado que existe un número, 2.718281828 … y si lo llevas a la potencia de algo , representado por x, su derivada tendrá exactamente la misma curva. Tendrá todas las mismas propiedades. Y la derivada de la derivada de la derivada … tendrá las mismas propiedades. Se podría decir que el valor de la función en un punto específico será el mismo valor que su crecimiento en ese punto. De alguna manera es una locura. Empiezas a hacer preguntas como: ¿Por qué ese número? ¿Por qué esos dígitos? De alguna manera no tiene ningún sentido. Teniendo, por ejemplo, [matemáticas] 2.7 ^ x [/ matemáticas] o [matemáticas] 3 ^ x [/ matemáticas] no obtendré los mismos resultados asombrosos, pero si tengo este número extraño.

Creo que es una de las cosas más geniales pero molestas del universo. ¿Por qué no podría haber sido un número más simple?

Supongo que la respuesta es: porque .

Answer 3

Las matemáticas tienen muchas constantes importantes, como pi e i, el número imaginario que es igual a la raíz cuadrada de uno negativo. Pero una constante que es igualmente importante, aunque quizás menos conocida, es la constante de Euler, e. Esta constante aparece todo el tiempo en matemáticas y física, pero ¿de dónde viene? ¿Y qué significa exactamente?

La constante e fue descubierta a principios del siglo XVIII por el matemático Leonard Euler. Euler estaba tratando de resolver un problema propuesto por otro matemático, Jacob Bernoulli, medio siglo antes.

El problema de Bernoulli estaba relacionado con el interés compuesto. Supongamos que deposita algo de dinero en el banco, y el banco acumula ese dinero anualmente a una tasa del 100 por ciento. Después de un año, tendría el doble de la cantidad que invirtió.

Ahora suponga que el banco aumenta el interés cada seis meses, pero solo ofrece la mitad de la tasa de interés, o el 50 por ciento. En este caso, terminaría con 2.25 veces su inversión inicial después de un año.

Sigamos. Supongamos que el banco ofrece un 8,3 por ciento (1/12 del 100 por ciento) de interés compuesto cada mes, o un 1,9 por ciento (1/52 del 100 por ciento) de interés compuesto cada semana. En ese caso, haría 2.61 y 2.69 veces su inversión.

Escribamos una ecuación para esto. Si hacemos n igual al número de veces que el interés es compuesto, entonces la tasa de interés es la recíproca, o 1 / n. La ecuación de cuánto dinero ganaría en un año es (1 + 1 / n) n. Por ejemplo, si su interés se capitaliza 5 veces al año, haría (1 + ⅕) 5 = (1 + 0.2) 5 = (1.2) 5 = 2.49 veces su inversión inicial.

Entonces, ¿qué sucede si n se vuelve realmente grande? Digamos, ¿infinito grande? Esta es la pregunta que Bernoulli estaba tratando de responder, pero Euler tardó 50 años en llegar y resolverla. Resulta que la respuesta es el número irracional e, que es aproximadamente 2.71828 …

Por supuesto, e es más que cualquier número. Es una de las constantes matemáticas más útiles. Si grafica la ecuación y = ex, lo que encontrará es que la pendiente de esa curva en cualquier punto dado también es ex, y el área debajo de la curva desde infinito negativo hasta x también es ex. e es el único número en todas las matemáticas que se puede conectar a la ecuación y = nx para la cual este patrón es verdadero.

En el cálculo, que consiste en encontrar pendientes y áreas, puedes imaginar que e es un número bastante importante. También es un número importante en física, donde aparece en las ecuaciones de las ondas, como las ondas de luz, las ondas de sonido y las ondas cuánticas.

Para más consulta:

e (constante matemática) – Wikipedia

El número e

e – de Wolfram MathWorld

Answer 4

NOTA: Solo estoy llegando a esta respuesta sobre la marcha. No he visto la descripción a continuación en ningún libro de texto y algunas declaraciones hechas a continuación pueden no ser del todo correctas. ¡Asegúrate de revisar mis matemáticas cuidadosamente!

Yo no diría que [math] \ frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x [/ math] es extraño. Eso es solo una propiedad matemática. De hecho, podría simplificar DEFINE [matemática] e ^ x [/ matemática] para que sea esa función que satisfaga la ecuación diferencial

[matemáticas]
\ frac {d} {dx} f (x) = f (x), ~~ f (0) = 1
[/matemáticas]

Ahora habría que demostrar que dicha función tiene propiedades “exponenciales”, es decir, [math] f (x + y) = f (x) f (y) [/ math]. Una forma de mostrar esto es mostrar que la ecuación diferencial anterior implica

[matemáticas]
\ frac {\ partial} {\ partial a} \ left [f (t + a) f (t – a) \ right] = 0
[/matemáticas]

Así

[matemáticas]
f (t + a) f (t – a) = g (t)
[/matemáticas]

Al establecer [matemática] a = 0 [/ matemática], encontramos [matemática] g (t) = f (t) ^ 2 [/ matemática]. Así
[matemáticas] f (t + a) f (ta) = f (t) ^ 2 [/ matemáticas]. Configurando [math] a = t [/ math], entonces encontramos [math] f (2t) = f (t) ^ 2 [/ math]. Por lo tanto [matemáticas] f (t + a) f (ta) = f (2t) = f (t + a + ta) [/ matemáticas]. Cambiando las variables a [matemática] x = t + a [/ matemática] y [matemática] y = ta [/ matemática], derivamos la propiedad deseada.

Ahora, en este punto, voy a hacer una pausa y asumir que esto es suficiente para demostrar un comportamiento exponencial. Si me equivoco, estoy seguro de que las otras pruebas pueden probarse de manera similar. (Si esto está mal, corrígeme). Entonces llamemos a la base de esta exponencial “e” (Todavía no sabemos qué es esto todavía.

Ahora, dada la ecuación diferencial que satisface, podemos definir una expansión de la serie Taylor de esta función usando
[matemática] f (x) = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n [/ math]
Para nuestra función [matemáticas] f ^ {(n)} (0) = f (0) = 1 [/ matemáticas]. Así

[matemática] f (x) = e ^ x = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} [/ math]

Ahora, estableciendo [math] x = 1 [/ math], podemos mostrar que la serie de la derecha converge y se puede determinar su valor. Entonces ahora tenemos un número para [math] e [/ math].

Excelente. Ahora que tenemos una expansión de la serie Taylor para [math] e ^ x [/ math] que converge. Luego podemos continuar analíticamente esta función en el plano complejo y compararla con expansiones de series similares para las funciones trigonométricas y derivar la fórmula

[matemáticas]
e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta
[/matemáticas]

etc. Siguiendo este método, la mayoría de las otras propiedades pueden derivarse, incluida su relación con el interés compuesto, etc.

Entonces encontramos que todas las propiedades asombrosas de la función exponencial se derivan simplemente de su ecuación diferencial. Ahora, debemos preguntarnos por qué esa ecuación diferencial en sí misma es importante para estudiar.

Voy a tratar de explicar por qué es importante para los físicos (ser uno yo mismo) y, sinceramente, para eso no tengo una respuesta que sea mejor que la prueba con el ejemplo (de lo cual tendré que encontrar bastantes antes de que yo puedo convencerlo, pero me quedaré con uno y espero que pueda descubrir algo más usted mismo) Por ejemplo, considere que la tasa de desintegración beta depende del número de átomos presentes (más átomos, más desintegración, ¿verdad? Aunque no es tan trivial) . Pero cada radiación disminuye el número de átomos. Entonces, la velocidad de cambio de los átomos es igual al número de átomos, que es precisamente la diferencia anterior.

Un análisis similar de otros procesos en la naturaleza revelará un comportamiento similar.

(Por ahora. Es un poco tarde. Pensaré en esta pregunta más esta noche y espero encontrar un ejemplo más convincente).

Answer 5

Dejaré que los matemáticos se encarguen de esto.

Pero el “exponente natural” a menudo simbolizado por [math] e [/ math] es un número único que ocurre en la naturaleza con tanta frecuencia que no puede ser ignorado.

[matemáticas] e = {(1 + \ frac {1} {n})} ^ n [/ matemáticas]

Las propiedades interesantes de e son:
La pendiente de la función [matemática] y = e ^ x [/ matemática] es [matemática] e ^ x [/ matemática].
Esto significa que el valor de [matemática] y [/ matemática] es igual a la tasa de crecimiento (la pendiente tangente) en [matemática] y [/ matemática]. A medida que y aumenta, la tasa de aumento es 1: 1 con el valor en y.

Si y fue algún proceso natural como el crecimiento bacteriano y en ([matemáticas] e ^ {1} [/ matemáticas]) (t = 1, y = 2.718) la tasa de crecimiento es [matemáticas] e ^ {1} [/ matemáticas ]
En este gráfico en ([matemáticas] e ^ {2} [/ matemáticas]) (t = 2. Y = 7.387) la tasa de crecimiento es [matemáticas] e ^ {2}. [/matemáticas]

[matemáticas] e [/ matemáticas] es la tasa base de crecimiento compartida por todos los procesos de crecimiento continuo.

Debido a esta propiedad especial que solo tiene e, es ideal para simplificar los modelos de proceso de crecimiento de la forma [matemática] x crecimiento [/ matemática].

El inverso de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es [matemáticas] ln (x) [/ matemáticas]. Esto se conoce como el ‘logaritmo natural’.

[matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] ln (x) [/ matemáticas] tienen la siguiente relación:
[matemáticas] e ^ {ln (x)} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (e ^ {x}) = x [/ matemáticas]

si [matemática] x = e ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] ln (x) = 2 [/ matemática]

si [matemática] ln (x) = 3 [/ matemática] entonces [matemática] x = e ^ 3 [/ matemática]

Esto facilita la transformación de las tasas de crecimiento en cantidades de tiempo dado.

[matemáticas] crecimiento = e ^ {r * t} [/ matemáticas]

[matemáticas] tiempo = ln (crecimiento) [/ matemáticas]

Podemos determinar fácilmente las cantidades que tendremos al final de un cierto período de tiempo en un proceso de crecimiento continuo.

Podemos tomar una combinación de tasa y tiempo y convertir la tasa al 100% para mayor comodidad. Al convertir a una tasa del 100%, podemos usar [math] e ^ {time} [/ math] para calcular la cantidad.

Digamos que una tasa de crecimiento es del 50% durante 4 años. Convierta eso al 100% en 2 años y ahora podemos establecer el crecimiento como
[matemática] e ^ {1.0 * 2} = e ^ {2}. [/ matemática] a este ritmo, (que crece continuamente) ¿cuánto tiempo tomará duplicar nuevamente?
l [matemática] n (2) = .786 [/ matemática] doble significa [matemática] 2x [/ matemática],

para duplicar al 200% obtendríamos [matemáticas] 2 * ln (2) = 1.38 [/ matemáticas] años.

Si miras los gráficos más o menos
para [matemática] e ^ x [/ matemática] de [matemática] y = 1 [/ matemática] a [matemática] y = 2 [/ matemática] [matemática] x + =. 78 [/ matemática]
para [matemática] ln (x) [/ matemática] de [matemática] x = [/ matemática] 1 a [matemática] x = 2 [/ matemática] [matemática] y + =. 78 [/ matemática]

Es fácil tratar de pensar linealmente pero [math] e ^ {x} [/ math] es exponencial.
Lo anterior significa que cada unidad de tiempo lineal aumenta la tasa de [matemática] e ^ {n} [/ matemática] a [matemática] e ^ {n + 1}. [/matemáticas]

Entonces, de 1 a 2 toma [matemáticas] .78t [/ matemáticas], pero de 2 a 3 solo toma. [Matemáticas] 41t. [/matemáticas]

  1 2 .78 
 2 3 .41 
 3 4 .29   
 4 5 .22

Llegamos a la siguiente unidad [matemática] y [/ matemática] cada vez más rápido.

El interés compuesto se relaciona con e:

[matemáticas] FV = PV (1+ \ frac {r} {n}) ^ {nt} [/ matemáticas]

[matemáticas] e = (1 + \ frac {1} {n}) ^ {n} [/ matemáticas]

(La razón por la que no puede usar [math] e [/ math] en los cálculos financieros es porque los bancos tienen una acumulación periódica donde se calcula y agrega el interés, no de forma continua cada instante como un proceso natural, como la descomposición radiactiva o el crecimiento bacteriano Pero es la misma fórmula, esencialmente.)

Answer 6

Estos son algunos hechos relacionados con [matemáticas] e [/ matemáticas] indirectamente:

• La constante matemática [matemáticas] e [/ matemáticas] o la constante de Euler o la constante de Napier se puede escribir de la siguiente manera:
• [matemáticas] e = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n!} [/ matemáticas]
• El 5 de julio de 2010, Shigeru Kondo y Alexander J. Yee calcularon los 1,000,000,000,000 de dígitos decimales de este número trascendental e irracional.
• En la presentación de IPO para Google en 2004, en lugar de una cantidad típica de dinero de números redondos, la compañía anunció su intención de recaudar $ 2,718,281,828, que son mil millones de dólares redondeados al dólar más cercano.
• Google también creó una valla publicitaria que apareció en Silicon Valley, Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington, Austin y Texas. Se lee “{primer primo de 10 dígitos encontrado en dígitos consecutivos de e } .com”.
• Resolver este problema y visitar el sitio web anunciado condujo a un problema aún más difícil de resolver, que a su vez llevó a Google Labs, donde se invitó al visitante a enviar un currículum.

Answer 7

Así se descubrió [math] e [/ math]. La gente estaba jugando con las tasas de crecimiento y encontraron algo extraño.

Hagamos nuestro propio [math] e [/ math] ahora mismo. Abre una calculadora y completa las respuestas a continuación:

[matemáticas] 1.5 \ veces 1.5 = [/ matemáticas]?

[matemáticas] 1.25 \ veces 1.25 \ veces 1.25 \ veces 1.25 = 1.25 ^ 4 = [/ matemáticas]?

[matemáticas] 1.1 ^ {10} = [/ matemáticas]?

[matemáticas] 1.01 ^ {100} = [/ matemáticas]?

[matemáticas] 1.001 ^ {1000} = [/ matemáticas]?

[matemáticas] 1.000001 ^ {1000000} = [/ matemáticas]?

¿En qué se parecen las respuestas?

(Nota [math] e [/ math] = 2.71828183 y algo más)

[matemáticas] \ displaystyle {\ left (1 + \ frac {1} {N} \ right) ^ N} =? [/matemáticas]

Pruebe [math] N [/ math] = 47,304,952 o algo así. Pruebe [matemáticas] N = 10 ^ {9} [/ matemáticas]. Prueba cualquier número grande. A medida que N crece, Wolfram Alpha puede funcionar mejor que una calculadora de propósito general:

(1 + 10 ^ (- 18)) ^ (10 ^ 18) – Wolfram | Alpha

Juega con esto! Realmente no necesitas un libro de magia que diga “Cálculo” para entender de dónde viene [matemáticas] e [/ matemáticas]. De hecho, es exactamente al revés. La gente seguía encontrando cosas extrañas como esta, y eventualmente lo engrapataron todo y lo llamaron “cálculo”.

Answer 8

Esto es lo que la constante matemática e es :

• 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995… (secuencia A001113 en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras).

• es irracional

• es el número positivo único a tal que la gráfica de la función

y = a ** x tiene una pendiente unitaria en x = 0

• es importante en matemáticas porque la inversa de la función exponencial f ( x ) = e ** x es el logaritmo natural, o logaritmo a base e . El logaritmo natural de un número positivo k también se puede definir directamente como el área bajo la curva y = 1 / x entre x = 1 yx = k , en cuyo caso, e es el número cuyo logaritmo natural es 1.

Esto es lo que la constante matemática e no es :

• no es una raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales

• no es una razón de enteros

Wikipedia tiene una serie de artículos sobre la constante matemática e Categoría: e (constante matemática)

Answer 9

Probablemente la característica más importante de [math] e [/ math] es que permite

a) Transformada de Fourier

b) función gaussiana

El primero es una consecuencia del segundo, pero juntos son un portal entre dos universos paralelos: el tiempo y la frecuencia. La palabra “Fourier” significa que puede dividir cualquier cosa en la naturaleza en elementos simples oscilantes (vibrantes) y operar en ellos, luego combinarlos de nuevo a lo que era al principio.

Esto se usa no solo en toda la ingeniería moderna, sino principalmente en biología, es decir, cerebro, organismo completo hasta el nivel de ADN … el ejemplo más obvio es la cóclea del oído.

Esta herramienta es tan increíblemente poderosa que parece milagroso que tal cosa exista. De todos modos, sin él seríamos demasiado simples y demasiado estúpidos para vivir y reproducirnos, por lo que no habría vida en absoluto, nunca (… probablemente).

Answer 10

Primero debo señalar que DEBE tener cuidado con su terminología. Un número natural es un número entero positivo o 0. El logaritmo natural usa la constante de Napier (e).

Sin embargo, para responder a su pregunta, es especial debido a la relación con la diferenciación en el cálculo. Específicamente,

La derivada de [math] e ^ x [/ math] es [math] e ^ x [/ math]. El cálculo también es la razón por la que pi es importante, porque la ecuación [math] f ” = f [/ math] tiene un período de pi.

Answer 11

e representa el número de Euler. El número e es un famoso número irracional, y es uno de los números más importantes en matemáticas.
Su valor es e = 2.7182 (aprox.)
Puede ver el uso de ‘e’ en lo siguiente: –
1. e es la base de los logaritmos naturales.
2. e se usa en la composición continua.
3. También se usa en Probabilidad en ensayos de Bernouli.
4. e también se usa cálculo din.
Estos son los usos de e que conozco y conozco. Hay muchos otros usos de e en matemáticas. Debido a estos diversos usos, e tiene una posición importante en matemáticas.

Answer 12

No fue elegido, se impuso. Sin entrar en detalles, e es como pi en ese sentido. Simplemente existe y se puede “encontrar” con múltiples enfoques.

Debido a que hizo la pregunta, sospecho que está en la secundaria o eligió un campo en el que no puede ver matemáticas de nivel superior. La importancia de e , y por qué ningún otro número podría reemplazarlo, se hace evidente 2 o 3 años después de verlo por primera vez.

Desde aquí, solo ve a Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/wiki/E_ …

Answer 13

Suponga que no tiene idea sobre el número e y desea formular la derivada de [math] a ^ x [/ math].

Verás que no puedes obtener una escalera responder sin involucrar e .

Curiosamente, puedes usar la fórmula de derivación clásica
[matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \ frac {a ^ {x + h} -a ^ x} {h} [/ matemáticas]
para obtener e .

Martin Ekman ya explica cómo, en este hilo.

Answer 14

Cualquier cosa que pueda hacer con e , puede hacerlo con cualquier otro número positivo (excepto 1, que también es especial). Puede pensar en todos estos números diferentes como esencialmente iguales, excepto que cada uno lleva consigo un “factor de conversión” implícito que le permite transformar cualquier fórmula que contenga el número en una fórmula que contenga uno de los otros números. Resulta que e es el número para el cual el factor de conversión es 1. (En otras palabras, no necesita un factor de conversión). Así que veamos las derivadas:

[matemáticas] \ frac {de ^ {x}} {dx} = e ^ {x} [/ matemáticas]

Agradable y simple, ¿verdad? Pero:

[matemáticas] \ frac {d10 ^ {x}} {dx} = (ln 10) 10 ^ {x} [/ matemáticas]

Existe ese factor de conversión [matemáticas] en 10 [/ matemáticas] alzando su cabeza fea. Encuentras el mismo tipo de cosas con las otras fórmulas que involucran e .

Answer 15

En primer lugar, ve este video que explica muy bien el origen de “e”.

Ahora sabe que e se originó básicamente de la capitalización 1 en un 100% cada segundo como período de tiempo o de forma continua. De ahí viene la definición básica de “e” como límite.

Ahora llegamos a la segunda propiedad importante de e que forma la segunda definición de e es que “La derivada de la función exponencial es en sí misma función exponencial”. Es decir, la función exponencial es tal función que su tasa de crecimiento es igual a su valor presente o en otro Es decir, crece inicialmente lentamente pero luego crece rápidamente. Ahora viene la definición de “e” como

“Es el punto en la curva exponencial de modo que” Subtangente “en ese punto es la unidad y la” Tangente “pasa a través de” Origen “como se muestra en la Figura”. Puede entender la subtangente como la Proyección de la Tangente en X eje como se muestra en la figura

Aquí st es el subtangente para la tangente.

Una definición más de “e” proviene de la integración de la función exponencial como integral de la función exponencial es igual a la función exponencial.

Entonces, mediante el uso de la integración y la representación del área como suma de Rienmann o integral, obtenemos

“Área bajo la curva de menos infinito a cero, es decir, área bajo la curva a la izquierda del eje Y”.

Espero que entiendas .

Answer 16

El número e es un famoso número irracional, y es uno de los números más importantes en matemáticas.
Los primeros dígitos son:
2.7182818284590452353602874713527 ——- y más

e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier).

Hay muchas formas de calcular el valor de e , pero ninguna de ellas da una respuesta exacta, porque e es irracional (no la razón de dos enteros).

Por ejemplo, el valor de (1 + 1 / n) n se aproxima a e a medida que n se hace más y más grande:

Answer 17

e es derivado por Bernoulli como una constante mientras se estudia sobre el interés compuesto. Supongamos que uno tiene 100 rupias en un banco y obtiene el 100% anual (al año) de interés al final del año. Entonces, tendrás 200 rupias al final del año. Ahora suponga que obtiene un interés del 100% anual después de 6 meses, y obtiene el 100% anual en el próximo medio año con ese interés, por lo que tendrá (100 + 50 + 75) = 225 rupias después de un año. Ahora, si cambiamos el intervalo de 6 meses a un minuto (obtendrá un interés compuesto después de cada minuto), ¿cuántas rupias puede obtener después de fin de año?

Bernoulli dedujo que no es más de 2.7182 (aprox.) Veces de su monto principal.

Answer 18

Sé de un argumento. Cambiemos un poco la pregunta: ¿por qué es tan especial el logaritmo natural? Mire la siguiente fórmula de integración:

[math] \ int_a ^ bx ^ n \ mathrm {d} x = \ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1} [/ math], para [math] n \ neq -1 [/ math]

La restricción de que n no puede ser igual a -1 es obvia. Sin embargo, [math] \ frac {1} {x} [/ math] es continuo durante el intervalo de números reales positivos, y por lo tanto también integrable, tiene que haber una expresión para ello. Definimos:
[math] \ ln x = \ int_1 ^ x \ frac {1} {t} \ mathrm {d} t [/ math], para [math] x> 0 [/ math]

Dado que el área bajo la curva aumenta monotónicamente para el rango de reales positivos, también es invertible. De hecho, definimos [math] \ mathrm {e} ^ x [/ math] como el inverso de [math] \ ln x [/ math].

Visite la Lista de representaciones de e para conocer otras formas en que se puede interpretar el exponente.

Answer 19

Udbhav

Esto ya ha sido respondido (alguien ha fusionado útilmente una respuesta anterior, así que haga clic en el enlace a continuación):

¿Qué tiene de especial el número e de Euler?

Answer 20

Aún más extraño, e ^ {i \ pi} = -1 [matemáticas]. [/ Matemáticas]