¿Cómo se integra [math] \ csc ^ 4 (3x) \ cot ^ 3 (3x) [/ math]?

Answer 1

Bueno, eso es igual a [matemáticas] \ frac {\ cos ^ 3 (3x)} {\ sin ^ 7 (3x)} [/ matemáticas]. Podemos sustituir [matemáticas] \ cos ^ 2 (3x) = 1 – \ sin ^ 2 (3x) [/ matemáticas] para convertir eso en [matemáticas] \ frac {\ cos (3x)} {\ sin ^ 7 (3x )} – \ frac {\ cos (3x)} {\ sin ^ 5 (3x)} [/ math].

Esos términos son integrables usando la sustitución (es decir, la regla de la cadena para derivados en reversa). Para ser exhaustivos, definimos una nueva variable [matemática] u = \ sin (3x) [/ matemática], cuyo diferencial es entonces [matemática] du = 3 \ cos (3x) dx [/ matemática]. Bajo esta sustitución, la integral se convierte en:
[matemáticas] \ int (\ frac {\ cos (3x)} {\ sin ^ 7 (3x)} – \ frac {\ cos (3x)} {\ sin ^ 5 (3x)}) dx = \ int (\ frac {1} {3u ^ 7} – \ frac {1} {3u ^ 5}) du [/ math]
[matemáticas] = – \ frac {1} {18u ^ 6} + \ frac {1} {12u ^ 4} + C [/ matemáticas]
[matemática] = \ frac {-1} {18 \ sin ^ 6 (3x)} + \ frac {1} {12 \ sin ^ 4 (3x)} + C [/ matemática]

Answer 2

csc ^ 4 (3x) cot ^ 3 (3x)

csc ^ 2 (3x) = 1 + cot ^ 2 (3x)

integral [(1 + cot ^ 2 (3x)) • cot ^ 3 (3x) • csc ^ 2 (3x)]

integral [(cot ^ 3 (3x) + cot ^ 5 (3x)) • csc ^ 2 (3x)]

poner cuna (3x) = t

– 3csc ^ 2 (3x) dx = dt

integral {(t ^ 3 + t ^ 5) • dt}

-t ^ 4/12 – t ^ 6/18 + k

-cot ^ 4 (3x) / 12 – cot ^ 6 (3x) / 18 + k

Answer 3

Con wolfram:
csc ^ 4 (3x) cot ^ 3 (3x) dx – Wolfram | Alpha