“Visualizar” cualquier función de valor complejo de una variable compleja es un desafío, independientemente de la función, porque es esencialmente un mapa de R ^ 2 a R ^ 2, y por lo tanto requeriría 4 dimensiones para visualizar tanto lo real como lo imaginario ( o magnitud y ángulo) partes simultáneamente. Por lo tanto, lo mejor que podemos hacer los humanos con desafíos dimensionales es “visualizar” (es decir, graficar) imágenes “completas” de subconjuntos unidimensionales del espacio de dominio (p. Ej., Imágenes de líneas rectas o segmentos y otras curvas), o una “componente” de la imagen de un subconjunto bidimensional del espacio de dominio (por ejemplo, la parte real O imaginaria, o la magnitud O el ángulo, de la imagen de un área, por ejemplo, un disco o un cuadrado, en el espacio de dominio ) (Estoy descuidando la posibilidad de usar el tiempo, es decir, “hacer una película”, como el eje de uno de los componentes de la imagen, porque uno no puede realmente representar ese componente de manera realmente continua, aunque uno podría aproximadamente eso tan precisamente como los recursos y la paciencia de uno pueden permitirlo, y porque todavía no nos da un “sentido del todo” tal como lo sentimos cuando dibujamos un gráfico “completo” de un mapa representable en R ^ 2 o R ^ 3).
Dicho esto, las “primeras cosas” comunes sobre las cuales observar la “acción” de cualquier mapa complejo son las líneas horizontales y verticales, respectivamente y y x = constante, comenzando con los ejes de coordenadas, y = 0 yx = 0. Comienza con estos y luego pasa a cosas como las líneas y = mx, m no es igual a 0 (¿por qué?) Y círculos centrados en el origen, y luego pasa a cosas como y = mx + b, b no es igual a 0 (por qué ?) y círculos centrados en otro que no sea el origen. Una vez que se sienta cómodo con ellos, puede (intentar) graficar las partes reales e imaginarias y la magnitud y los ángulos de las imágenes de un rectángulo y un círculo ubicados arbitrariamente. El punto es que, a diferencia de los mapas de R-> R ^ 1 o 2 o de R ^ 2-> R ^ 1, donde tienes alguna posibilidad de dibujar una representación razonablemente “global” del mapa, lo mejor que puedes hacer para desarrollar una “intuición visual” para el comportamiento de una función de valor complejo de una variable compleja es construir un “repertorio” de “subimágenes” que uno conoce para un mapa dado, incluida la función exponencial. (Espero que esto no te desanime: no puedo exagerar la importancia de hacer precisamente lo que he descrito para la función exponencial: es la función más importante en variables complejas, y es extremadamente útil desarrollar esta “intuición visual” ” para ello.)