Si la integral indefinida de dos funciones es la misma, ¿significa esto que las funciones mismas son iguales?

Answer 1

NO, si las funciones no son necesariamente continuas.

Hagamos la pregunta más rigurosamente:
Si la integral f (x) de A a B = integral g (x) de A a B, para todos los valores de A y B, ¿deben ser las funciones fyg iguales?

Si las funciones fyg no son continuas, esto no es necesariamente cierto.
Aquí hay un ejemplo.

f (x) = x ^ 2 para x 0.
Esto es discontinuo en x = 0.

g (x) = x ^ 2 para x 0.
Esto también es discontinuo en x = 0.

Verificando las integrales, o más bien las áreas entre x = A yx = B, veremos que las integrales son iguales, pero las funciones mismas no son iguales debido a las discontinuidades.

En general, las funciones pueden / serán diferentes en los puntos de discontinuidad.

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SÍ, solo si las funciones son continuas.

Si la integral f (x) de A a B = integral g (x) de A a B, para todos los valores de A y B, ¿las funciones CONTINUAS f y g deben ser las mismas?

De esto, obtenemos la integral f (x) -g (x) de A a B = 0 para todos A y B.

Digamos que f (x) -g (x) es positivo para algunos x = X. Entonces habrá algún rango X1 <= X <= X2, donde f (x) -g (x) es positivo. Entonces, tomando A = X1 y B = X2, obtendremos la integral f (x) -g (x) de A a B = algún valor positivo, en lugar del 0 esperado.

Del mismo modo, si f (x) -g (x) es negativo para algunos x = X.

Entonces f (x) -g (x) no debe ser ni positivo ni negativo.

Esto implica f (x) -g (x) = 0 para todo x, entonces f (x) = g (x) para todo x, entonces f y g son iguales.

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Answer 2

La definición habitual de una integral indefinida de una función f es cualquier antiderivada de f, es decir, una función F tal que F ‘= f. Cuando se considera una función f definida en un intervalo, todos sus antiderivados difieren en una constante, usualmente denotada C y llamada la constante de integración. Por eso ves expresiones como

[matemáticas] \ int 2x \, dx = x ^ 2 + C [/ matemáticas]

Algunos libros de texto no usan el término integral indefinido en absoluto, sino que se adhieren al término antiderivado.

La importancia de los antiderivados proviene del teorema fundamental del cálculo. Si F es una antiderivada de f , entonces

[matemáticas] \ int_a ^ bf (x) \, dx = F (b) -F (a) [/ matemáticas]

Suponga que dos funciones f y g tienen la misma antiderivada F, luego F ‘= f y F’ = g, luego f = g.

¿Existe una definición diferente de integral indefinida ? Se podría decir que es cualquier función

[matemáticas] F (x) = \ int_c ^ xf [/ matemáticas]

donde c es una constante. Esa no es una definición estándar, pero comparte una de las propiedades, a saber, todas estas integrales indefinidas difieren en una constante. Además, F ‘ no necesita ser igual a f. Por ejemplo, si f es constantemente 0, excepto que toma un valor diferente en un punto, entonces F ‘ es constantemente 0, por lo que no es igual a f en ese punto.

Entonces, con esta definición alternativa, diferentes funciones pueden tener la misma integral indefinida.

Si tienes un libro de texto en particular que estás usando, verifica la definición que está usando para la integral indefinida y síguelo.

Answer 3

Mientras que otros carteles mencionaron que esta afirmación necesita continuidad para mantenerse, podemos decir algo más débil: si [math] f [/ math] y [math] g [/ math] tienen la misma integral (sobre algún conjunto medible E), entonces son iguales en casi todas partes en ese conjunto [matemática] E [/ matemática], es decir, igual excepto en un conjunto de medida de lebesgue (intuitivamente, tamaño) [matemática] 0 [/ matemática].

Answer 4

En la interpretación estándar de la integral indefinida , sí significa que las dos funciones deben ser las mismas.
Una diferenciación posterior debería devolver la función original de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo y, por lo tanto, las dos funciones deben ser las mismas.

Answer 5

Si. ¡Porque la derivada de una función no puede ser dos funciones diferentes! Y sí, la derivada de la constante es cero, por lo que la diferencia sobre la base de la constante es insignificante.

Answer 6

No, porque una función que contiene una constante, como f (x) = (x ^ 5) -7 y una función que contiene todos los mismos términos pero tiene una constante diferente (es decir, f (x) = (x ^ 5) ) -6), tendrá la misma integral indefinida, pero claramente no es la misma función.