¿Qué significa “absolutamente continuo”?

Answer 1

Dado f, puede definir una medida, o función de longitud, definiendo la longitud de [a, b] como f (b) – f (a). Si eres un fanático, podrías objetar que esta medida puede asignar cosas de longitud negativa. Este es un problema técnico que puede ignorarse. Puede extender la medida de intervalos a conjuntos de intervalos sumando las contribuciones individuales.

Ahora, considere la siguiente propiedad que podría tener una medida: suponga que es continua con respecto a la noción euclidiana normal de distancia. En otras palabras, si la longitud regular de una colección de intervalos es pequeña, entonces también lo hace esta medida f de longitud. Esta es la noción de continuidad absoluta.

Para digerir adecuadamente esta noción, debe mirarla desde la perspectiva de la teoría de la medida. Una medida f es absolutamente continua wrt a una medida g si todos los conjuntos g-null también son f-null. Pero estas definiciones son básicamente las mismas, modulo algunos límites. Además, el hecho de que funciones absolutamente continuas tengan una derivada en casi todas partes es el contenido del teorema de Radon-Nikodym.

La continuidad absoluta se declara más formalmente como continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.

Answer 2

Tres comentarios … Esperemos que al menos uno te sea útil.

1) Si aún no lo ha hecho, debe sentirse muy cómodo con la continuidad antes de estar listo para lidiar con la continuidad absoluta.

2) Después de solo dos años de cálculo, es poco probable que haya encontrado una función que sea continua en algún intervalo pero no absolutamente continua en ese intervalo. Sin embargo, tales funciones existen. Eche un vistazo a la función wiki de Cantor para ver el primer ejemplo que generalmente se enseña.

3) Una función absolutamente continua es solo una función continua con restricciones adicionales impuestas, de modo que se garantiza que tiene una derivada (casi en todas partes) y su derivada se puede integrar para devolver la función original.

Answer 3

Se dice que una función [matemática] g: R \ rightarrow R [/ matemática] es absolutamente continua si para todas [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] existe [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que [matemáticas] \ sum ^ {n} _ {i = 1} | f (x_ {i + 1}) – f (x_i) | <\ epsilon [/ math] para todas las colecciones finitas de intervalos separados por pares [math] (x_i, x_ {i + 1}) [/ math] con [math] \ sum_ {i = 1} ^ {n} (x_ { i + 1} - x_i) <\ delta [/ math].