If [math] \ displaystyle \ int \ frac {g (x) g ‘(x)} {- 2} \ left (\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left (\ frac {1} {g ‘(x)} \ right) ^ 2 \ right) \, \ mathrm dx = [/ math] [math] \ displaystyle- \ frac {1} {2} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left (\ frac {1} {g ‘(x)} \ right) ^ 2- \ frac {g (x)} {g’ (x)} [/ math], entonces cuál es el valor de [math] \ dfrac {g (\ sin x)} {\ pi x ^ 2} [/ math] en [math] x = \ dfrac {1} {2 \ pi} [/ math]?

Answer 1

La integración por partes es el camino a seguir. Tenga en cuenta que su integral se simplifica a

[matemáticas] \ int \ frac {g (x) g ” (x)} {(g ‘(x)) ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Integrando por partes (considerando g (x) como la primera parte), tenemos

[matemáticas] \ int \ frac {g (x) g ” (x)} {(g ‘(x)) ^ 2} \, dx = – \ frac {g (x)} {g’ (x)} + \ int \, dx [/ math]

Puede realizar la integral, y recoge una constante. Compare su LHS con RHS, y puede eliminar un término. Ahora, integra esa nueva ecuación, y obtienes otra constante. Eso te deja con una ecuación diferencial de primer orden, que también debes integrar, agregando otra constante.

En este punto, debe tener la forma de g (x) (Sugerencia: hay un arcosin involucrado en alguna parte). Hay tres constantes, de las cuales una puede ser determinada por la condición que usted dio, dejando a las otras dos desconocidas. Si los pone todos a cero, recupera la respuesta, que es 2. Le dejo que realice las otras dos integrales por sí mismo.

Answer 2

Nota: Esta es solo una respuesta parcial.

No necesita integración por partes para evaluar la integral.
Después de tomar la derivada, el integrando se simplifica a
[matemáticas] \ frac {g (x) g ” (x)} {g ‘(x) ^ 2} [/ matemáticas].

Si realiza la sustitución [math] u = \ frac {g (x)} {g ‘(x)} – x [/ math], entonces [math] du = \ frac {g (x) g’ ‘(x )} {g ‘(x) ^ 2} dx [/ math], por lo que la integral se convierte en [math] \ int du [/ math]; por lo tanto:

[matemáticas] \ int \ dfrac {g (x) \ cdot g ‘(x)} {-2} \ left (\ dfrac {d} {dx} \ left (\ dfrac {1} {g’ (x)} \ right) ^ {2} \ right) dx [/ math] [math] = \ frac {g (x)} {g ‘(x)} – x + c [/ math], donde [math] c [/ matemáticas] es la constante de integración.

Luego podemos tomar la derivada en el otro lado, establecer los dos lados iguales entre sí, y terminamos con la ecuación: