¿La integral de una función par siempre tiene que ser una función impar?

Answer 1

Si te refieres a la integral indefinida (es decir, la antiderivada) de una función, no es una sola función, sino una familia de funciones, todas diferentes por una constante. Obviamente, esta familia de funciones no puede ser impar, porque agregar una constante distinta de cero a una función impar hará que ya no sea impar.

Tendría más sentido si reformularas la pregunta a “¿Es la integral indefinida de una función par siempre una función impar más una constante?” o “¿Siempre hay alguna antiderivada de una función par que es una función impar?”. La respuesta a eso es Sí (al menos, dentro de cualquier intervalo integrable).

Dada una función par f (x), deje que F (x) sea cualquier antiderivada de la misma. La integral indefinida en general es F (x) + C. Elegimos C de modo que el valor de “F (x) + C” sea 0 en x = 0 (es decir, C = -F (0)), y afirmamos que esta función (llámela G (x) = F (x) – F (0)) es impar. Obviamente, G (x) también es una antiderivada de f (x).

Para que G (x) sea impar, [math] -G (-x) = G (x) [/ math] debe ser verdadero. Como G (0) = 0, esto es equivalente a [matemática] G (0) – G (-x) = G (x) – G (0) [/ matemática]. Y dado que G (x) es una antiderivada de f (x), esto es equivalente a [math] \ int _ {- x} ^ 0 f (t) dt = \ int_0 ^ xf (t) dt [/ math]. O, en otras palabras, el área bajo la curva de f (x) debe ser la misma en ambos lados de x = 0. Dado que f (x) es par, esto se ve fácilmente como cierto. Una prueba rigurosa de la igualdad de esas integrales se deja como ejercicio para el lector.