¿Cuál es la lógica detrás de dejar f (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z) en la separación PDE de variables?

Answer 1

Resolver un PDE genérico analíticamente no siempre es posible. De hecho, para la mayoría de las PDE no hay soluciones analíticas conocidas.

Algunos PDE podemos resolverlos usando varios trucos que han sido descubiertos a lo largo de los años por algunas personas muy inteligentes.

Un truco común es la separación de las variables que mencionaste.
Este truco suele ser útil para encontrar soluciones a PDE lineales.

La razón por la que este truco es útil (en muchos casos) no es que una solución específica en la forma X (x) Y (y) Z (z) sea particularmente útil.

El truco es útil por 2 razones:
1. Al restringirnos a ecuaciones de la forma X (x) Y (y) Z (z), a menudo podemos encontrar fácilmente una solución para el PDE.
Esta solución generalmente tendría algún parámetro libre, por lo que realmente encontramos infinitas soluciones para nuestra ecuación restringida. Un ejemplo común es tener sin (n * PI * x) como una solución a la ecuación de onda para cualquier número entero n.

2. a menudo podemos igualar las condiciones de contorno que la solución debe satisfacer utilizando combinaciones lineales (a menudo infinitas) de las soluciones fáciles de encontrar para la ecuación X (x) Y (y) Z (z).

Si el PDE original es lineal, las combinaciones lineales de soluciones para el PDE son también soluciones del PDE.
Por ejemplo, si f1 (x, y, z) y f2 (x, y, z) resuelven el PDE, entonces también lo hace [3f1- (9/6) f2] para un PDE lineal (no funcionaría si tuviera algún término como x ^ 2 en su PDE).

La forma de calcular los coeficientes de las combinaciones lineales de sus soluciones es usar lo que a menudo se conoce como el truco de Fourier.
Si aún no lo ha visto o no lo comprende completamente, inténtelo de nuevo, es una de las cosas más geniales (y también más útiles) en matemáticas.

Para reiterar, nuestra solución final ya no debe satisfacer nuestra restricción X (x) Y (y) Z (z).
Puede satisfacer nuestras condiciones límite particulares y, por lo tanto, describe la solución (única) a las condiciones límite PDE + que tenemos.

Answer 2

Creo que la siguiente cita de Dettman, JW, 1988. “Métodos matemáticos en física e ingeniería”. Publicaciones de Dover. resume todo esto bastante bien:

“En el último capítulo, [exploramos el enfoque variacional para resolver este tipo de problemas]. Aunque esto … condujo a varios teoremas interesantes [y] procedimientos de aproximación, no es muy constructivo como método para encontrar [soluciones] explícitas. El método of SoV es uno de los más importantes para encontrar soluciones explícitas de … PDE. La ecuación de Helmholtz [por ejemplo] se separa en ODE en once sistemas de coordenadas ortogonales diferentes, y estos son suficientes para resolver muchos problemas de importancia práctica “.

Addenda: volví a leer el resto de la sección de la que cité esto y recordé otra justificación “ex post facto” muy importante para el método SoV: resulta que típicamente (¿invariablemente?) Las EDO resultantes son ejemplos de lo que son llamado el problema de Sturm-Liouville, por el cual se puede demostrar, como una propiedad inherente de la forma analítica / algebraica del problema, que las soluciones linealmente independientes forman un conjunto ortonormal (con respecto a una función de “ponderación”, que ocurre como un coeficiente en el ODE); cuando dicho conjunto también está “completo”, entonces, para la mayoría, si no todas, las condiciones de límite y continuidad realistas, se puede demostrar que dicho conjunto es suficiente para expresar de manera única la solución al ODE y, por lo tanto, al PDE también. En otras palabras, existe una razón teórica por la cual el método SoV funciona tan a menudo; no es del todo casual o simplemente “suerte”.

Answer 3

Como se señaló, es una suposición (ansatz) y nada más: no siempre se garantiza que tenga una solución que satisfaga esa separación, pero si lo hace, este es el primer paso para resolver el PDE.

Answer 4

La verdadera pregunta no es por qué no asumimos que es una suma (o cualquier combinación lineal de funciones). La diferenciación es un operador lineal, por lo que a menudo puede tener una familia de combinaciones lineales de soluciones para el PDE que sigue siendo una solución. De hecho, la forma en que generalmente resuelve PDE en física es encontrar una familia de funciones que satisfagan la ecuación, asumir que la solución es una combinación lineal de estas funciones y luego usar las condiciones de contorno para determinar los coeficientes en la combinación lineal.

La mejor pregunta es por qué no asumimos que la solución es una función arbitraria multivariable. La respuesta insatisfactoria es que es difícil y, en general, no tiene solución. Para muchas formas canónicas de resolver ecuaciones diferenciales, la razón por la que lo hacemos es

“Probamos este truco y funcionó. Luego lo intentamos de nuevo y funcionó de nuevo. Funcionó lo suficiente, ahora lo llamamos un método”.

Esto podría ayudarlo a dormir un poco mejor: se puede demostrar que, bajo ciertas condiciones, las soluciones para PDE son únicas (por ejemplo, cuando el Laplaciano es 0). Entonces, si encuentra alguna solución, como la que encuentra usando la separación de variables, es la única solución.

Answer 5

En el caso de coordenadas esféricas para la ecuación de Schrodinger para un electrón en un átomo de hidrógeno, resulta conveniente. Funciona, pero no es necesariamente la única forma de resolverlo en una función de onda. Hasta ahora, ha sido la forma más fácil y más fácil de trabajar.

Answer 6

Básicamente, suponemos que hay una solución en esa forma porque si la hay, entonces es mucho más fácil de resolver. Si no, nos vemos obligados a usar otras técnicas.

Answer 7

Divide y conquistaras. Establezca el producto = 0 a cero y luego resuelva cada ecuación de factores por sí mismo. Cada factor que se encuentra en una sola variable es más fácil de resolver.