Para tener un concepto de ortogonalidad de funciones (o cualquier otra cosa que esté considerando), necesitará un producto interno. Deje que V denote el espacio vectorial de las funciones que está considerando. Dadas dos funciones f y g , son ortogonales si su producto interno [matemático] \ langle f | g \ rangle [/ matemático] es 0. (Hay muchas notaciones diferentes para los productos internos, también llamados productos de punto . I ‘ usaré ese.) Un espacio vectorial V con un producto interno se llama espacio interno del producto.
Ahora supongamos que tiene una colección fija de funciones ortogonales [matemáticas] f_1, f_2, \ ldots [/ matemáticas] en V. Piense en cada una de las funciones como apuntando en una dirección en ángulo recto a todas las demás funciones. Estas funciones ortogonales abarcan un subespacio W de V. Normalmente, normalizará las funciones ortogonales para que cada una tenga la norma 1. Eso significa [matemática] \ langle f_i | f_i \ rangle = 1. [/ Matemática]
Tienes una curva que viene dada por una función y = f ( x ). Si la f está en el espacio vectorial W abarcado por su conjunto de funciones ortogonales, entonces es una combinación lineal de ellas. No es necesaria una aproximación.
Pero si f no está en W , entonces quieres encontrar la g más cercana en W , y esa g es lo que usarás para aproximar f . Esa g se llama la proyección de f en el subespacio W.
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- Tiene un conjunto de N números (4 [matemática] \ leq [/ matemática] N [matemática] \ leq [/ matemática] 2K, Ni [matemática] \ leq [/ matemática] 10K). Necesita encontrar 2 subconjuntos (de 2 números) donde Sum (Set1) [math] \ leq [/ math] L1 y Sum (Set2) [math] \ leq [/ math] L2 (1 [math] \ leq [/ matemática] L1, L2 [matemática] \ leq [/ matemática] 10K). ¿Cómo encontrarías los dos subconjuntos con la suma máxima?
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Siguiente pregunta, ¿cómo encuentras g de f ? Proyecta f en cada [math] f_i [/ math] y suma todas las proyecciones. La proyección de [math] f [/ math] en [math] f_i [/ math] se encuentra escalando [math] f_i [/ math] por su producto interno [math] \ langle f | f_i \ rangle [/ math] con [matemáticas] f. [/ matemáticas] Entonces [matemáticas] g [/ matemáticas] será
[matemáticas] g = \ sum_i \ langle f | f_i \ rangle \, f_i [/ math]