Lo importante a tener en cuenta es que si un polinomio tiene una raíz repetida r, entonces (r, f (r)) es uno de los extremos de la función. Usando eso, [math] f ‘(a) = 0 \ rightarrow 3a ^ 2 + p = 0 [/ math].
Las leyes de Vieta nos dicen que [matemáticas] -q = a ^ 2b [/ matemáticas]. El resto es fácil: al igualar a ^ 2 tenemos [matemáticas] a ^ 2 = – \ frac {p} {3} = – \ frac {q} {b} [/ matemáticas], o [matemáticas] pb = 3q [/matemáticas].
Probablemente no queremos la b allí. Como 2a + b = 0, también de Vieta’s, y [math] a = \ pm \ sqrt {- \ frac {p} {3}} [/ math] como reordenamiento de una igualdad previa, tenemos [math] b = -2a = \ mp2 \ sqrt {- \ frac {p} {3}} [/ math]. Esto puede ser sustituido en [math] pb = 3q [/ math]. Para mantener las cosas buenas, eso se puede reorganizar en [matemáticas] -4p ^ 3 = 27q ^ 2 [/ matemáticas], o también [matemáticas] (- \ frac {p} {3}) ^ 3 = (\ frac {q } {2}) ^ 2 [/ matemáticas].
Si no sabe qué es Vieta, este es un buen problema para aprenderlo: simplemente expanda (xa) ^ 2 (xb) y combine los coeficientes de potencia de x.
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