¿Qué es un logaritmo?

Answer 1

Un logaritmo es una cantidad que representa la potencia a la que debe elevarse un número fijo (la base) para producir un número dado.

Básicamente, si:
[matemáticas] y = b ^ x [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] log_b (y) = x [/ matemáticas]

Por ejemplo,
[matemáticas] 4 = 2 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] log_2 (4) = 2 [/ matemáticas]

También,
[matemáticas] 6561 = 3 ^ 8 [/ matemáticas]
[matemáticas] log_3 (6561) = 8 [/ matemáticas]

Aquí, b es la base del logaritmo. Se usan comúnmente dos bases, es decir: base-10
base-e

‘ e ‘ es una constante matemática, con un valor de aproximadamente 2.718

Si la base es ‘e’, ​​entonces usamos una expresión especial: ln (x)
Básicamente,
[matemáticas] ln (x) = log_e (x) [/ matemáticas]

Si no se especifica una base, será base-10, como en:
[matemáticas] log (x) = log_ {10} (x) [/ matemáticas]

Para convertir entre bases, divida la [matemática] ln (x) [/ matemática] por la [matemática] ln (b) [/ matemática] deseada. Por ejemplo, si quiero convertir [math] log_2 (16) [/ math] en [math] log_8 (16) [/ math], entonces:
[matemáticas] ln (16) / ln (8) = 1.333…. [/ matemáticas]

Esto es verdad,
[matemáticas] 2 ^ 4 = 8 ^ {1.333…} [/ matemáticas]

Si desea saber qué base usar, no necesita preocuparse. La base siempre se especifica y si no, será ‘ 10 ‘. Puede recibir preguntas como:
[matemáticas] 45 = 5 ^ x [/ matemáticas]

entonces la base será ‘5’, lo que nos lleva a:
[matemáticas] log_5 (45) = x [/ matemáticas]

Si no tiene una función base especial en su calculadora, puede usar el truco anterior que es:
[matemáticas] ln (45) / ln (5) = x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 2.365… [/ matemáticas]

Algunas reglas más de logaritmo:
[matemáticas] log_b (x \ cdot y) = log_b (x) + log_b (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] log_b (x / y) = log_b (x) – log_b (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] log_b (x ^ y) = y \ cdot log_b (x) [/ matemáticas]

¡La práctica hace la perfección! Prueba algunos ejercicios:
1) [matemáticas] log_ {25} (2555) = x [/ matemáticas]
2) [matemáticas] log_ {4} (215) = x [/ matemáticas]
3) [matemáticas] ln (41) = x [/ matemáticas]
4) [matemáticas] log (55 ^ 2) = x [/ matemáticas]
5) [matemáticas] 79 = 6 ^ x [/ matemáticas]

Respuestas (en tres cifras significativas):
1) 2,44
2) 3.87
3) 3.71
4) 3.48
5) 2,44

Answer 2

El logaritmo de un número es, más o menos, cuántos dígitos tiene.

Entonces, el logaritmo de 8347238 es aproximadamente 7 (en realidad es 6.921 …). El logaritmo de 9 es aproximadamente 1. Por lo tanto, es una forma conveniente de medir la escala de un número.

Ahora esta era una idea muy aproximada. Hagámoslo más preciso. Si toma cualquier número y lo multiplica por 10, gana un dígito adicional, por lo que de acuerdo con lo que dije anteriormente, el logaritmo aumenta en uno. Entonces, lo que realmente sucede es que el logaritmo de un número es la frecuencia con la que tengo que multiplicar 10 para obtener ese número. Entonces [math] \ log (100) = 2 [/ math] porque [math] 10 * 10 = 100 [/ math], entonces multipliqué dos 10s juntos. Del mismo modo, [math] \ log (10000) = 4 [/ math] porque [math] 10 * 10 * 10 * 10 = 10000 [/ math], y así sucesivamente. Multiplicar cuatro 10 juntos también se puede escribir como [matemáticas] 10 ^ 4 [/ matemáticas]. Y ahora podemos generalizar la idea:

[math] \ log (x) = y [/ math] es otra forma de decir que [math] 10 ^ y = x [/ math].

La última pregunta que puede tener es: ¿qué tiene de especial el número 10? ¿Por qué cuenta cuántos 10s tengo que multiplicar juntos? Bueno, en realidad, el logaritmo también se usa con otros números de base: la base 2 y la base e también son muy comunes. Pero para cada opción, obtienes la función de logaritmo que mide la escala del número que ingresas.

Answer 3

Si a es cualquier número positivo distinto de 1 , entonces y = f (x) = a ^ x , la función exponencial con base a , es uno a uno ( significa que para una sola entrada x , podremos encontrar solo una salida y) , y por lo tanto tiene una inversa ( leer función inversa ).

La inversa de esta función exponencial se llama función logarítmica, y se puede representar como,

Las funciones de registro anteriores tienen las bases (sí , se llaman la base de un logaritmo ) e (= 2.718281 ..) y a.

Para una función logarítmica,
( Tenga en cuenta aquí que la base es by la función se lee como “log x en la base b”), para definirse byx debe ser el conjunto de números que satisfacen las siguientes condiciones:

Gráficamente se puede representar como:
( Aquí la base del logaritmo es 10 , que generalmente se usa en los cálculos ):
Pocas cosas que podemos observar en el gráfico:

• El gráfico tiene una pendiente positiva en todo el dominio, por lo que es una función creciente.
• El rango de esta función, es decir, el rango de valores de f (x) es (-∞, ∞)
• Su valor es negativo para todos los valores de x <1, positivo para todos los valores de x> 1 y cero en x = 1

PD: He tratado de simplificar las cosas lo más posible para construir una intuición para las funciones logarítmicas en personas novatas. Espero que te quede claro. En caso de que surja alguna confusión, solo avíseme .

Answer 4

La función logarítmica es la inversa de la exponenciación, ¿qué significa? Si tiene algo como [matemáticas] n ^ x = y [/ matemáticas] entonces [matemáticas] x = \ log_ {n} (y) [/ matemáticas], aquí, la base es [matemáticas] n [/ matemáticas] y puede ser el número que quieras.

En la mayoría, la función logarítmica se utiliza con la base [math] e [/ math] y se reduce a [math] \ ln (x) [/ math].

En los Reales, el dominio de esta función está limitado a [math] x \ gt 0 [/ math] pero puede extenderse a todos los números (excepto 0) usando números complejos.

Tiene algunas buenas propiedades:

Aquí, usaré [math] \ ln [/ math] pero funciona para cada base

[matemáticas] \ ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (a ^ b) = b \ ln (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log_a (b) = \ frac {\ log_c (b)} {\ log_c (a)} \; \; \ forall c [/ math]

Hay muchos más, si quieres puedes buscarlos en Google

Espero que esto ayude 🙂

Answer 5

Considere lo siguiente: [matemáticas] 2 ^ {3} = 8 [/ matemáticas].

Llamamos a 2 la base .

Llamamos a 3 el logaritmo . Específicamente, el logaritmo a la base 2 de 8 , que escribimos como [math] \ log_2 8 [/ math]

Entonces un logaritmo es un poder .

Más generalmente,

[math] \ log_b x [/ math] es el poder al que tienes que subir b para obtener x.

Por ejemplo, [math] \ log_3 81 [/ math] es 4 porque tienes que subir 3 a la potencia 4 para obtener 81.

Answer 6

El logaritmo es el inverso de la función exponente.

Significado inverso una función que hace lo contrario.

La resta es el inverso de la suma

La división es la inversa de la multiplicación

Lo que eso significa para el logaritmo es el siguiente:

Exponente significa multiplicar un número x veces.

Por ejemplo:

[matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] es lo mismo que tomar x número de 2s y multiplicarlos.

El logaritmo te dice cuántas veces tienes que multiplicar la base para obtener el número.

Por ejemplo:

[math] \ log_2 (x) [/ math] está contando cuántos 2s necesitarían multiplicarse para hacer x.

Usar números reales podría ayudar.

[matemáticas] 2 ^ 4 = 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log_2 (16) = 4 [/ matemáticas]

Ambos tratan con esta serie de multiplicación:

[matemáticas] 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 [/ matemáticas]

La diferencia es en qué dirección vas.

El exponente toma la cuenta y se multiplica para formar un número.

El logaritmo toma el número final y determina el recuento de la multiplicación.

Mucha matemática es solo repetición.

Demostraré lo mismo usando multiplicación y división.

[matemáticas] 2 \ cdot x [/ matemáticas] le dice que tome x copias de 2 y las sume.

[math] x / 2 [/ math] pregunta cuántas veces tienes que sumar 2 para obtener x.

Usando números reales:

[matemáticas] 2 \ cdot 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 8/2 [/ matemáticas]

Ambos se refieren a esta serie de adiciones:

[matemáticas] 2 + 2 + 2 + 2 [/ matemáticas]

La diferencia es en qué dirección vas.

La multiplicación toma la cuenta y suma para hacer un número.

La división toma el número final y determina el recuento de la suma.

Quizás ahora pueda apreciar cómo exponente vs logaritmo se parecen mucho a la multiplicación vs división.

En exponentes y logaritmos, generalmente se tratará de una “base”. La “base” del exponente será la misma que la base del logaritmo. Afortunadamente, la base es siempre el número más bajo que escribes en ambos casos.

[matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ log_2 (x) [/ matemáticas] son ​​ambas base 2.

Esas bases están directamente conectadas.

Si [matemática] 2 ^ x = y [/ matemática] entonces [matemática] log_2 (y) = x [/ matemática]

El último logaritmo que escribí se puede leer de la siguiente manera:

log base 2 de y es igual a x

Si solo ve el registro sin un número escrito como base, muchas veces eso implica que la base es 10. Las personas tienden a comenzar con la base de 10 porque nuestro sistema de números funciona con potencias de 10, cada dígito tiene una potencia mayor de 10.

[matemáticas] 1 = 1 \ cdot 10 ^ 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 = 1 \ cdot 10 ^ 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 100 = 1 \ cdot 10 ^ 2 [/ matemáticas]

etc …

Answer 7

En términos cotidianos, los logaritmos son números que corresponden a números ordinarios de una manera especial. Agregue el registro de dos números, convierta ese valor nuevamente en un número ordinario y obtendrá el mismo resultado que si hubiera multiplicado esos números.

Esto fue muy útil en los días previos a las calculadoras baratas. En la escuela en la década de 1960, usé tablas de registro y una regla de cálculo. Dudo que estos todavía se usen en cualquier lugar hoy en día.

Para los matemáticos, los registros son exponentes y aún muy relevantes. Ver Logarithm en Wiki para más detalles.

Un pequeño extra. En la novela SF de James Blish “Earthman, come home”, hay computadoras con inteligencia casi humana, pero un ingeniero todavía usa una regla de cálculo. Muestra cuánto más sorprendente puede ser el futuro que la imaginación de cualquiera.

Answer 8

En matemáticas, el logaritmo de un número es el exponente al que se debe elevar otro valor fijo, la base, para producir ese número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 a base 10 es 3, porque 10 a la potencia 3 es 1000: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Más generalmente, para dos números reales b y x donde b es positivo y b ≠ 1,

Espero que haya ayudado.
Obtendrá más ayuda con la tarea de http://www.courseanswer.com/

Answer 9

Si [matemática] a ^ b = c [/ matemática], entonces [matemática] \ log_a (c) = b [/ matemática].

[math] \ log (x) [/ math] es lo mismo que [math] \ log_ {10} (x) [/ math] y [math] \ ln (x) [/ math] es lo mismo que [matemáticas] \ log_e (x) [/ matemáticas].

Leeríamos [math] \ log_b (a) [/ math] como “log base B of A”.

Answer 10

Los logaritmos son exponentes. Para ilustrar esta definición, utilizaremos un par de ejemplos de logaritmos comunes, es decir, logaritmos con base 10, y utilizaremos un par de ejemplos de logaritmos naturales (logaritmos con base e (el número irracional e es igual a 2.71828 redondeado a 5). lugares decimales):

(1.) log 100 = 2, que dice: “¿A qué potencia o exponente se debe elevar la base 10 para obtener o producir 100?” La respuesta a la derecha del signo igual es: 2, porque 10 ^ 2 = 100.

(2.) log 1000 = 3, que dice: “¿A qué potencia o exponente se debe elevar la base 10 para obtener o producir 1000?” La respuesta a la derecha del signo igual es: 3, porque 10 ^ 3 = 1000.

(3.) En e = 1, que dice: “¿A qué potencia o exponente se debe elevar la base” e “para obtener o producirse?” La respuesta a la derecha del signo igual es: 1, porque e ^ 1 = e.

(4.) En 25 = 3.218876 (redondeado a 6 decimales), que dice: “¿A qué potencia o exponente se debe elevar la base” e “para obtener o producir 25? La respuesta a la derecha del signo igual es: 3.218876, porque e ^ (3.218876) = 25.

La interpretación anterior para un logaritmo es la misma independientemente de su base (cualquier número real positivo que no sea igual a 1) porque, recuerde, ¡LOS LOGARITMOS SON EXPONENTES!

Answer 11

Para dos números reales [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], si [matemática] a ^ n = b [/ matemática], entonces [matemática] n [/ matemática] se denomina base de logaritmo [matemáticas] a [/ matemáticas] de [matemáticas] b [/ matemáticas]. Se denota por [math] log_a b = n [/ math], leído como base de logaritmo [math] a [/ math] de [math] b [/ math] es igual a [math] n [/ math].

En la expresión [math] log_a b [/ math], [math] a [/ math] se llama base y [math] b [/ math] se llama argumento.

Por lo tanto, [math] log_a b [/ math] es un valor de la potencia de [math] a [/ math] requerido para obtener el valor de [math] b [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] a ^ {log_a b} = b [/ matemáticas].

Ejemplos:

1. [matemáticas] 2 ^ 3 = 8. [/ matemáticas] Por lo tanto, [matemáticas] log_2 8 = 3. [/ matemáticas]
2. [matemáticas] 4 ^ 4 = 256 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] log_4 256 = 4. [/ Matemáticas]
3. [matemáticas] 10 ^ 2 = 100. [/ matemáticas] Por lo tanto, [matemáticas] log_ {10} 100 = 2 [/ matemáticas]
4. [matemáticas] 4 ^ 0 = 1. [/ matemáticas] Por lo tanto, [matemáticas] log_4 1 = 0 [/ matemáticas].

Puede tomar cualquier base y argumento en el logaritmo para estudiarlo, pero en general,

la base se toma [matemáticas]> 0 [/ matemáticas] y no es igual a 1, ya que 1 a la potencia cualquier cosa es 1, y el argumento se toma como un valor positivo.

Algunas bases comunes para log: 10, e, 2.

e es un número irracional,

e = 2.71828182846…. = 2.718 aproximadamente. Si la base se toma como [math] e, [/ math] entonces se llama logaritmo natural, y su símbolo es [math] ln. [/ Math]

Ejemplo: [matemáticas] log_e x = ln (x) [/ matemáticas].

Pocas propiedades importantes del logaritmo:

[matemáticas] log_a b ^ n = n log_a b [/ matemáticas].

[matemáticas] log_a a = 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] log_a a ^ n = n. [/ matemáticas]

[matemáticas] log_a mn = log_a m + log_a n [/ math].

[matemática] log_a b = \ frac {log_x b} {log_x a} [/ matemática] para una base válida [matemática] x [/ matemática], es decir, [matemática] x [/ matemática] [matemática]> [/ matemática] 0 y no igual a 1.

[matemáticas] log_a 1 = 0 [/ matemáticas]. Como [matemáticas] a ^ 0 = 1. [/ Matemáticas]

Espero que esto te haya ayudado a entender el logaritmo.

Answer 12

Déjame tratar de explicarlo con un ejemplo.
Suponga que tiene una matriz ordenada que contiene valores de 0 a 100. donde a [i] = i;
Ahora, si le pregunto cuál es la posición de 67, ¿de qué maneras puede responder eso?
Puede comenzar desde el elemento 0 de la matriz e ir hasta el elemento 67 y ver el valor devuelto. Podemos decir que esto es O (n) (tomamos el peor caso de 100 cuando calculamos complejidades).
O
Usted sabe que a [i] = i y usted directamente sin demora devuelven 67. Esto toma O (1).

Pero en algunos casos encontrará una matriz ordenada que no tiene un [i] = i. Luego, en lugar del algoritmo O (n), ya que está ordenado, puede simplemente tomar el elemento del medio y ver si es menor o mayor que el número requerido e ir a qué lado quiere ir desde allí y repetir este proceso.
Esto es más rápido de lo normal O (n). Pero más lento que O (1). Resulta que tal algoritmo toma O (logn), prueba de que se pueden encontrar muchos lugares como ¿Cómo demostrar que $ O (\ log n) $ es verdadero para un algoritmo de búsqueda binario?

Answer 13

Una función logarítmica es aquella que nos dice el exponente al que se debe elevar un número base para obtener el número, es decir

Como 3 ^ 4 es 81, log 81 (base 3) = 4.

El logaritmo natural se define como la función logarítmica utilizando la base e, donde e es el número que satisface la condición de que en x = 0, la pendiente de e ^ x es 1.

Answer 14

Pregunta difícil, pero déjame intentarlo en el contexto de patrones de crecimiento lineal y cuadrático.
el crecimiento log (n) es más lento que el crecimiento lineal. Crecimiento lento en comparación con constante.
El crecimiento de n log (n) está en algún lugar entre lineal (n) y cuadrático (n ^ 2). Ligeramente más rápido que lineal.

Answer 15

Considera esto
[matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] = y
Supongamos que queremos saber qué potencia de a es igual a y.
El logaritmo es la respuesta a nuestro problema.
x = [matemáticas] log_a y [/ matemáticas]

Answer 16

Los logaritmos a menudo se malinterpretan y son demasiado complicados. Son simplemente el inverso de exponentes o potencias. Si se les enseñara junto con poderes y raíces, serían mucho más fáciles de entender y usar. El video a continuación ofrece una explicación muy fácil de entender de qué son los logaritmos y cómo usarlos:

Answer 17

Una forma de entenderlo intuitivamente es tener en cuenta que el registro es el inverso de una función exponencial. Su extraña correspondencia entre la multiplicación y la suma proviene de las propiedades de los exponentes.

Se puede obtener otra perspectiva al familiarizarse con una regla deslizante. Tu abuelo podría tener uno, o podrías encontrar uno en una tienda de antigüedades. Funciona por logaritmos. Las marcas en la regla deslizante están etiquetadas con números, pero las posiciones de las marcas son proporcionales a los logaritmos de esos números. De esta forma, una regla deslizante puede multiplicar números agregando distancias. No me refiero a que esta descripción sea útil. Quiero decir que se puede lograr una buena comprensión sin palabras, simplemente familiarizándose con un ejemplo, en este caso, una regla física real y real en sus manos reales, y jugando con ella y pensando en ello.

Answer 18

Doy una explicación elemental de la naturaleza y el uso de los logaritmos aquí: la respuesta de Steve Denton a ¿Cuál es la intuición detrás del logaritmo?

Answer 19

una cantidad que representa la potencia a la que se debe elevar un número fijo (la base) para producir un número dado.