Si X e Y se distribuyen uniformemente en cualquier intervalo (a, b), entonces cualquier variable Z definida como Z = X / Y, ¿se distribuirá uniformemente o no en ningún intervalo?

Answer 1

Primero, debes suponer que X e Y son independientes.
En segundo lugar, también debe suponer que a> 0.
Luego, en exel puede simular fácilmente la ley para tener una idea sobre la distribución mediante el uso de la función FRECUENCIA .

Para a = 2 yb = 4 obtuve eso:

Entonces, podemos deducir claramente que Z no es uniforme.

Y en una segunda vez, incluso puede encontrar una fórmula cerrada para Z utilizando un cambio juicioso de variables.

Demostración :
Definamos el siguiente cambio de variable:

[matemáticas]
\ left \ {\ begin {array} {l} Z = X / Y \\ W = Y \ end {array} \ right. \ Longleftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {l} X = ZW \\ Y = W \ end {array} \ right.
[/matemáticas]

Luego podemos escribir la densidad de unión, [math] f_ {Z, W} (z, w) [/ math]:
[matemáticas]
f_ {Z, W} (z, w) = f_ {X, Y} (zw, w) | Jac (G (u, v)) |
[/matemáticas]
[matemáticas]
f_ {Z, W} (z, w) = \ frac {1} {ba} 1 _ {[a, b]} (zw). \ frac {1} {ba} 1 _ {[a, b]} (w ) .v
[/matemáticas]
Para obtener la densidad de Z buscamos que sea marginal:
[matemáticas] f (z) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_ {Z, W} (z, w) dw [/ math]
[matemáticas] f (z) = \ frac {1} {(ba) ^ 2} \ int ^ b_a z \ mathbb {1} _ {[a, b]} (zw) dw [/ matemáticas]
[matemáticas] f (z) = \ frac {1} {(ba) ^ 2} \ int _ {[a, b] \ bigcap [a / z, b / z]} wdw [/ matemáticas]

Y tenemos :
[matemáticas]
[a, b] \ bigcap [a / z, b / z] = \ left \ {\ begin {array} {l} \ emptyset \; Si \; z <b / a \\\ izquierda [a, b \ derecha] \; Si \; b / a <z ​​<1 \\\ izquierda [a, b / z \ derecha] \; Si \; 1 <z a / b \ end {array} \ right.
[/matemáticas]
Podemos deducir la densidad de Z:
[matemáticas]
f (z) = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ frac {1} {2 (ba) ^ 2} (b ^ 2-a ^ 2 / z ^ 2) & \; Si \; b / a <z ​​<1 \\\ frac {1} {2 (ba) ^ 2} (a ^ 2 / z ^ 2-b ^ 2) & \; Si \; 1 <z <a / b \\ 0 & \; Si\; no \ end {array} \ right.
[/matemáticas]

A partir de la densidad, podemos deducir claramente que Z no es uniforme.

La densidad para algunos valores de [a, b]:

Answer 2

Primero, definamos

[matemáticas] X = \ text {Uniforme} (a, b) [/ matemáticas]
[matemáticas] Y = \ text {Uniforme} (a, b) [/ matemáticas]

definamos también, por conveniencia, [matemáticas] c = ba [/ matemáticas].

Entonces las funciones de densidad de probabilidad son:

[matemática] f (x) = 1 / c [/ matemática] para [matemática] a [matemática] g (y) = 1 / c [/ matemática] para [matemática] a

Entonces tenemos, para [matemáticas] z [matemáticas] P (Z

Esbozando esto, tenemos una situación como esta:

  X |  X = zY 
  El |  / /
 b + + ---- +
  El |  El |  / ## |
  El |  | / Z 
  Hay dos casos que debemos considerar por separado aquí [matemática] z <1 [/ matemática] y [matemática] z> 1 [/ matemática], porque la forma de la región descrita por [matemática] Z 
  Para [math] z <1 [/ math], nuestra imagen se ve así: 
  X |        
  El |       
 b + + ----- + X = zY
  El |  El |  | _ /
  El |  El |  _ /
  El |  El |  _ / # |
 a + + - / --- +
  El |  _ /
  | _ /
  + --- + ----- + ----
      ab Y

  La línea [matemática] X = zY [/ matemática] intersecta nuestro cuadrado en [matemática] (X, Y) = (a, a / z) [/ matemática] y luego nuevamente en [matemática] (X, Y) = ( bz, b) [/ math], dando al triángulo sombreado un área de [math] (ba / z) (bz-a) / 2 = (bz-a) ^ 2 / (2z) [/ math].  Por lo tanto, para esta región, [matemáticas] P (Z 
  Pero para [matemáticas] z> 1 [/ matemáticas], se ve así: 
  X |  X = zY
  El |  / /
 b + + - / - +
  El |  El |  / ### |
  El |  | / #### |
  El |  | ##### |
 a + / + ----- +
  El |  / / 
  | /
  + --- + ----- + ----
      ab Y

  Aquí, la línea [matemática] X = zY [/ matemática] interseca el cuadrado en [matemática] Y = a [/ matemática] y [matemática] X = b [/ matemática], lo que resulta en puntos de intersección [matemática] (az, a) [/ matemáticas] y [matemáticas] (b, b / z) [/ matemáticas].  Esto le da al triángulo un área de [matemáticas] (b-az) (b / za) / 2 = (b-az) ^ 2 / (2z) [/ matemáticas], lo que resulta en [matemáticas] P (z 
  Dos casos especiales más: 
  [matemática] z   [matemática] z> b / a [/ matemática] da [matemática] P (z 

  Al poner todo esto junto, tenemos la función de distribución acumulativa para Z: 
  [matemática] P (z   [matemáticas] = (bz-a) ^ 2 / (2c ^ 2z) \ text {if} a / b   [matemáticas] = 1 - (b-az) ^ 2 / (2c ^ 2z) \ text {if} 1   [matemáticas] = 1 \ texto {si} z> b / a [/ matemáticas] 
  Algunas notas al pie interesantes: 

  Si decidimos abordar el caso más general de [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas] que tienen distribuciones uniformes diferentes, la línea [matemáticas] X = zY [/ matemáticas] no habría cruzado ambas esquinas del cuadrado al mismo tiempo ([math] z = 1 [/ math] hace esto en este ejemplo), y tendríamos que considerar la región donde la línea se cruza tanto en la parte superior como en la parte inferior del rectángulo al mismo tiempo (o ambos lados del rectángulo al mismo tiempo ... depende de si es más alto que ancho) 
  si [math] a = 0 [/ math], entonces la distribución se simplifica bastante.  Aunque un poco de las matemáticas necesita ajustes para definirse claramente, el resultado es que Z tiene la mitad de su densidad distribuida uniformemente en [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas] con el resto como un cuadrático inverso. 
  Si la densidad de (X, Y) no fuera uniforme, deberíamos integrar la densidad sobre la región sombreada.  Con una densidad uniforme [matemática] 1 / c ^ 2 [/ matemática] aquí), multiplicar el área de la región por la densidad es equivalente (y más fácil). 



    

Answer 3

de alguna manera, creo que depende del intervalo (a, b).
si uno puede ser muy pequeño, entonces el intervalo de resultados puede ser grande
como a es igual a 0.00001, b es igual a 0.9999, entonces el resultado de la división será muy grande o pequeño
pero si (a, b) es 1 y 2, al menos los límites están entre (0.5,2)
entonces, veamos este caso en Excel:
como puedes ver, absolutamente no uniformemente distribuido
y el promedio de la columna F es aproximadamente 1.02, pero el medio de 0.5 y 2 es 1.25, nuevamente, no distribuido uniformemente.

puedes probarlo tú mismo ~~~ buena suerte ~~

Answer 4

Vamos a jugar.

Intenté con 2 uniformes en -10, 10. El cociente no está cerca del uniforme

Luego probé con 2 uniformes en 0, 10. El cociente no estaba cerca del uniforme.

Luego probé con 2 uniformes en 5,10. El cociente estaba en algún lugar entre normal y uniforme, con cierto sesgo correcto.

Por tanto, la respuesta es no”;

Answer 5

Qué sucede cuando Y es cero o casi cero. Z variaría mucho en relación con una pequeña variación de Y alrededor del valor 0.

Answer 6

En realidad, el intervalo es (1,2) y obtuve la respuesta de que Z se distribuye uniformemente entre (1 / 2,2). Entonces, es correcto o no.