En R x R f (x, y) se define como ax + por + c. Considerando un triángulo PQR, ¿podemos demostrar que si A se encuentra dentro de PQR, entonces max {f (P), f (Q), f (R)}> = f (A)}?

Answer 1

Gracias por el A2A. Aquí hay una prueba para ti; de hecho, es igualmente fácil mostrar que [math] f (P) \ geq min \ {f (A), f (B), f (C) \} [/ math] también.

Prueba: supongamos, sin pérdida de generalidad, que [matemáticas] f (A) = max \ {f (A), f (B), f (C) \} [/ matemáticas], y que [matemáticas] f (C ) = min \ {f (A), f (B), f (C) \} [/ math].

Dibuje la línea AP y deje que X sea su intersección con BC. Por el siguiente lema de intermediación, tenemos [matemáticas] f (B) \ geq f (X) \ geq f (C) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (A) \ geq f (P) \ geq f ( X) [/ matemáticas]. Simplificando transitivamente, [matemática] f (A) \ geq f (P) \ geq f (C) [/ matemática], QED.

La prueba utiliza los hechos de que un número b está numéricamente entre a y c si existe [matemática] t: 0 \ leq t \ leq 1 [/ matemática] tal que [matemática] b = a + t (c – a) [ / math], y del mismo modo, un punto P se encuentra entre los puntos A y B (en la línea AB) iff [math] P = A + t (B – A) [/ math], nuevamente para [math] 0 \ leq t \ leq 1 [/ matemáticas].

Lema de intermediación: para la definición dada de f , para todos los puntos X, Y y M, si [matemáticas] f (Y) \ geq f (X) [/ matemáticas] y M está entre X e Y, entonces [matemáticas] f (Y) \ geq f (M) \ geq f (X) [/ matemáticas].

Prueba: [matemática] M = X + t (Y – X) [/ matemática], con [matemática] 0 \ leq t \ leq 1 [/ matemática]. El objetivo se deriva de la definición de f:

[matemáticas] f (X) = ax_1 + bx_2 + c [/ matemáticas]

[matemáticas] f (Y) = ay_1 + por_2 + c [/ matemáticas]

[matemáticas] f (M) = am_1 + bm_2 + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = a (x_1 + t (y_1 – x_1)) + b (x_2 + t (y_2 – x_2)) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = a x_1 + b x_2 + c [/ matemáticas]
[matemáticas] + t (a y_1 + b y_2 + c – ax_1 – bx_2 – c) [/ matemáticas]

[matemáticas] = f (X) + t (f (Y) – f (X)) [/ matemáticas]

Por lo tanto, f (M) está entre f (X) yf (Y), y dado que [math] f (Y) \ geq f (X) [/ math], tenemos [math] f (Y) \ geq f ( M) \ geq f (X) [/ matemáticas], QED.

Answer 2

Sea A cualquier punto en el casco convexo (interior) del triángulo PQR.
Entonces A puede escribirse como una combinación lineal de P, Q, R.
A = d * P + e * Q + g * R, donde d, e, f son reales positivos tales que d + e + g = 1.

Ahora,
fa)

= d (a * x_P + b * y_P + c) +
e (a * x_Q + b * y_Q + c) +
g (a * x_R + b * y_R + c)

= d * f (P) + e * f (Q) + g * f (R)

<= (d + e + g) * max {f (P), f (Q), f (R)}

= max {f (P), f (Q), f (R)}

Answer 3

Es bien sabido que, la distancia perpendicular desde un punto [matemática] (x, y) [/ matemática] a la línea [matemática] ax + por + c = 0 [/ matemática] es igual a [matemática] \ frac {\ mid ax + por + c \ mid} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ math]
Tenga en cuenta que, Denominador es el mismo para cada punto. Ahora, el problema es equivalente a, “Hay un vértice desde el cual la distancia a la línea [matemática] ax + por + c [/ matemática] es \ ge distancia desde cualquier punto interior”.
Esto es obvio. Pero para hacerlo más riguroso, podemos hacer transformaciones que, [matemática] ax + por + c [/ matemática] se convierta en [matemática x [/ matemática] eje. Y esto significa que la distancia perpendicular será la coordenada [matemática] y [/ matemática]. Y ahora esto se vuelve más obvio -_- 🙂

Answer 4

Considera la interpretación geométrica. Igual f implica que el locus es una línea recta. En un lado de esta línea se encuentran líneas paralelas de mayor f y en el otro, líneas paralelas de menor f. Entonces, si A es un punto interior, la prueba sigue trivialmente.

Answer 5

Si podemos.
Otros han dado soluciones, sin embargo, mírelo de esta manera, considere el valor de la función ax + by + c, a lo largo de cualquier línea específica con pendiente -a / b. Verá que es constante. Además, notará que la función toma el valor de la bifurcación Kc, donde c es la constante de la línea que elige () K constante constante. Por lo tanto, ahora traduciendo esta línea, vemos que la de ABC siempre será la máxima y la mínima en el triángulo.