¿Es adecuada mi redefinición de [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas]? Educación te da un futuro mejor

Formalmente, no puede dar una definición con infinitos casos al proporcionar muchos ejemplos. Cuando los matemáticos escriben algo así (usando marcadores de posición como “…” y “etc.” y “y así sucesivamente” y así sucesivamente), es una abreviatura para una definición completa por inducción matemática, y se espera que el lector complete mentalmente el detalles. Una definición formal de exponenciación procede de la siguiente manera.

Para [math] y \ in \ mathbb N_0 [/ math], defina [math] x ^ y [/ math] por inducción, donde el caso base es [math] x ^ 0 = 1 [/ math] y la inducción el paso es [matemáticas] x ^ {y + 1} = x ^ y \ cdot x [/ matemáticas].
Para [math] y \ in \ mathbb Z _ {<0} [/ math], defina [math] x ^ y = \ tfrac {1} {x ^ {- y}} [/ math].
Para [math] y \ in \ mathbb Q \ smallsetminus \ mathbb Z [/ math], deje que [math] y = \ tfrac {p} {q} [/ math] con [math] q \ in \ mathbb N _ {> 0} [/ math], y defina [math] x ^ y = \ sqrt [q] {y ^ p} [/ math] (después de definir el principal [math] q [/ math] th root [math] \ sqrt [q] {\} [/ matemáticas]).
Para [math] y \ in \ mathbb R \ smallsetminus \ mathbb Q [/ math], deje que [math] \ {y_i \} [/ math] sea una secuencia Cauchy de racionales que convergen a [math] y [/ math], y defina [math] \ textstyle x ^ y = \ lim_ {i \ to \ infty} x ^ {y_i} [/ math] (después de probar que esto existe y es único).
Para [math] y \ in \ mathbb C \ smallsetminus \ mathbb R [/ math], defina [math] x ^ y = \ exp (y \ ln x) [/ math] (después de definir el complejo exponencial [math] \ exp [/ math] y logaritmo principal [math] \ ln [/ math]).

Si desarrolla lo que esto significa sobre decir [matemáticas] x ^ 0, x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3 [/ matemáticas], encontrará que, de hecho, [matemáticas] x ^ 0 = 1, x ^ 1 = 1 \ cdot x, x ^ 2 = 1 \ cdot x \ cdot x, x ^ 3 = 1 \ cdot x \ cdot x \ cdot x [/ math]. (Esto no es nada nuevo; consulte la definición de ProofWiki o su libro de texto de análisis favorito).

Como puede ver, [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] no es un caso especial recién insertado; Es parte de un caso base natural del que depende todo lo demás. Si por alguna razón quisiera evitar definir [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática], entonces tendría que insertar una disposición especial para excluirla. La forma obvia sería dividir el caso [math] y \ in \ mathbb N_0 [/ math] en dos:

Para [matemática] y = 0 [/ matemática], defina [matemática] x ^ 0 = 1 [/ matemática] para todos [matemática] x \ ne 0 [/ matemática].
Para [math] y \ in \ mathbb N _ {> 0} [/ math], defina [math] x ^ y [/ math] por inducción, donde el caso base es [math] x ^ 1 = x [/ math] , y el paso de inducción es [math] x ^ {y + 1} = x ^ y \ cdot x [/ math].

Pero, por supuesto, no hay una buena razón para eso; Esta definición es más complicada y el resultado es inferior.