¿En qué sentido es un conjunto finito un espacio proyectivo sobre el ‘campo con un elemento’ [math] \ mathbb F_1 [/ math]?

Answer 1

Aquí hay una justificación combinatoria. Los espacios proyectivos sobre un campo son básicamente los espacios de subespacios dimensionales [matemáticos] 1 [/ matemáticos] de un espacio vectorial sobre dicho campo. Cuando el campo en cuestión es un campo finito, en realidad podemos contar el número de dichos subespacios. Supongamos que consideramos el campo [math] \ mathbb F_q [/ math] con elementos [math] q [/ math] y un espacio vectorial dimensional [math] n [/ math] sobre él que puede identificarse con [math] \ mathbb F_q ^ n [/ math] para alguna elección de base. Entonces, los vectores del espacio vectorial son cadenas con entradas [math] n [/ math], y cada entrada toma uno de los valores [math] q [/ math] diferentes en [math] \ mathbb F_q [/ math]. Esto significa que hay un total de [matemáticas] q ^ n [/ matemáticas] diferentes vectores, incluido cero. Si eliminamos cero (ya que eso no puede estar en el espacio proyectivo), nos quedan elementos [math] q ^ n – 1 [/ math]. Ahora, cada vector distinto de cero pertenece exactamente a un subespacio dimensional [matemático] 1 [/ matemático] y cada subespacio dimensional [matemático] 1 [/ matemático] tiene exactamente vectores [cero matemáticos] q-1 [/ matemático] (simplemente tome un elemento distinto de cero y multiplíquelo con los escalares [math] q-1 [/ math] en [math] \ mathbb F_q [/ math] para obtener los vectores [math] q-1 [/ math]). Entonces, el número de subespacios dimensionales [matemáticos] 1 [/ matemáticos] viene dado por

[matemáticas] N_q (n, 1) = \ frac {q ^ n-1} {q-1} = \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} q ^ i. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que cuando establecemos [math] q = 1 [/ math], la expresión anterior se convierte en [math] n [/ math], el número de elementos en un conjunto finito con elementos [math] n [/ math]. Por lo tanto, los conjuntos finitos con elementos [math] n [/ math] pueden considerarse espacios proyectivos sobre [math] \ mathbb F_1 [/ math].

En particular, vale la pena señalar cuán bien se trasladan las cosas al caso del subespacio dimensional [math] k [/ math]. Para contar el número de tales espacios, comenzamos contando el número de formas de elegir un conjunto de vectores [math] k [/ math] linealmente independientes. El primero puede ser cualquiera de los vectores [matemáticos] q ^ n-1 [/ matemáticos] distintos de cero. Para el segundo vector, prohibimos elegir cualquiera de los vectores [math] q [/ math] en el lapso del primer vector. Entonces, tenemos opciones [matemáticas] q ^ nq [/ matemáticas]. Para el tercer vector, prohibimos elegir cualquiera de los vectores [math] q ^ 2 [/ math] en el lapso de los dos primeros, por lo que solo tenemos opciones [math] q ^ n – q ^ 2 [/ math] . Este proceso puede continuar, y tenemos el siguiente número de formas de elegir un conjunto de vectores [math] k [/ math] linealmente independientes.

[matemáticas] M_q (n, k) = \ frac {1} {k!} \ prod_ {j = 0} ^ {k-1} (q ^ n – q ^ j). [/ matemáticas]

Debido a que cualquier permutación del conjunto de vectores que hemos elegido da el mismo conjunto de vectores, tuvimos que dividir por [math] k! [/ Math]. Pero dividir por [math] k! [/ Math] elimina solo la redundancia a nivel de conjuntos, no eso a nivel de subespacios. Los vectores [math] k [/ math] que hemos elegido definen un subespacio tridimensional [math] k [/ math], que es un espacio vectorial tridimensional [math] k [/ math] por derecho propio. Por lo tanto, hay [math] M_q (k, k) [/ math] diferentes opciones de bases correspondientes al mismo subespacio. Por lo tanto, para obtener el número de subespacios [math] k [/ math] -dimensional, necesitamos dividir [math] M_q (n, k) [/ math] entre [math] M_q (k, k) [/ math] . El resultado es

[matemáticas] N_q (n, k) = \ frac {\ prod_ {j = 0} ^ {k-1} (q ^ n – q ^ j)} {\ prod_ {j = 0} ^ {k-1} (q ^ k – q ^ j)} = \ prod_ {j = 0} ^ {k-1} \ frac {\ sum_ {i = 0} ^ {nj-1} q ^ i} {\ sum_ {i = 0} ^ {kj-1} q ^ i}. [/ Math]

Uno puede ver fácilmente que la configuración [matemática] q = 1 [/ matemática] produce

[matemáticas] N_1 (n, k) = \ prod_ {j = 0} ^ {k-1} \ frac {nj} {kj} = \ binom {n} {k}, [/ matemáticas]

que es la cantidad de formas de elegir un subconjunto de elementos [math] k [/ math] de un conjunto finito de elementos [math] n [/ math].