Según el teorema fundamental del álgebra, los números complejos están cerrados algebraicamente. Esto significa que cualquier polinomio con coeficientes complejos puede escribirse como [math] a (x-r_1) \ cdots (x-r_n) [/ math] donde [math] a [/ math] es el coeficiente principal y [math] r_1 , \ ldots, r_n [/ math] son las raíces. Por otro lado, [matemática] x ^ 2 + r = 0 [/ matemática] para [matemática] r> 0 [/ matemática] es un polinomio con coeficientes reales pero sin raíces reales.
Esto hace que sea mucho más fácil estudiar sistemas de ecuaciones polinómicas sobre [math] \ mathbb {C} [/ math] que sobre [math] \ mathbb {R} [/ math]. Las ecuaciones polinómicas sobre los reales a menudo tienen soluciones “faltantes”, y esto las hace mucho más difíciles de entender. La teoría de la representación sobre los reales también es más complicada que la teoría de la representación sobre los números complejos. En su mayor parte, para estudiar fenómenos sobre [math] \ mathbb {R} [/ math], las personas primero los estudian sobre [math] \ mathbb {C} [/ math] y luego los estudian en el caso real al compararlos con El caso complejo.
El hecho clave que es útil para hacer esta comparación es que los números complejos tienen un mapa [math] \ tau: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} [/ math] tal que:
- [matemáticas] \ tau (0) = 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ tau (1) = 1 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ tau (a + b) = \ tau (a) + \ tau (b) [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ tau (ab) = \ tau (a) \ tau (b) [/ matemáticas]
Decimos que dicho mapa es un automorfismo de [math] \ mathbb {C} [/ math]. Nuestro automorfismo además satisface:
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- [math] \ tau (a) = a [/ math] si y solo si [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math]
Este es el mapa de conjugación complejo dado por [math] a + bi \ mapsto a-bi [/ math]. De hecho, la razón por la que la conjugación compleja es tan importante es que es el único automorfismo continuo de los números complejos distintos de la identidad.
Dado que los números reales son exactamente el subconjunto de los números complejos que son invariables bajo conjugación compleja, esto nos da una forma importante de vincular los números complejos a los reales. Por ejemplo, el lugar de solución real para un sistema de ecuaciones polinómicas es el conjunto de soluciones complejas invariantes [math] \ tau [/ math].