La forma más fácil desde el punto de vista conceptual es hacerlo directamente, pero es una pesadilla de álgebra, que siempre se simplifica en casos de interés, y usted piensa “¡Debe haber una forma diferente!”
La forma diferente es usar el tensor métrico (diagonal) y las expresiones para derivadas covariantes. El tensor métrico siempre es fácil de recordar en coordenadas cilíndricas y esféricas. Por ejemplo, en coordenadas esféricas.
[matemáticas] ds ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 d \ theta ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 (\ theta) d \ phi ^ 2 [/ matemáticas]
El tensor métrico es diagonal en cualquier sistema ortogonal. Luego, para convertir una ecuación diferencial parcial, la escribe en una forma covariante y usa la fórmula de derivada covariante:
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[matemáticas] D_i V_k = \ partial_i V_k – \ Gamma ^ i_jk V ^ j [/ matemáticas]
y análogos para tensores superiores. Para calcular los Gammas, me gusta usar este formalismo de mascotas de cosecha propia descrito en mi respuesta de intercambio de pila aquí: Escalar de Ricci para un tensor métrico diagonal. La primera sección describe cómo calcular los Gammas, lleva un minuto.
Entonces, cuando tienes una ecuación diferencial parcial, di la ecuación de Navier Stokes:
[matemática] \ partial_t v_j – v ^ k \ partial_k v_j = \ partial_j P + \ partial ^ k \ partial_k v [/ math]
Reemplace todas las derivadas parciales con derivadas covariantes (son iguales en coordenadas cartesianas de espacio plano), y luego esta es una ecuación covariante, por lo que es igualmente cierto en cualquier sistema de coordenadas. Así que ponga la expresión para la derivada covariante usando los símbolos de Crhistofel que calculó en cualquier sistema de coordenadas, y esa es su ecuación en las nuevas coordenadas. Lleva mucho tiempo, pero no lleva mucho tiempo con la práctica.
Para el laplaciano, hay una cierta simplificación, ya que solo depende de la forma del volumen (el determinante del tensor métrico). Para ver esto, puede usar el cálculo de formas diferenciales:
[matemáticas] \ Delta \ phi = d * d \ phi [/ matemáticas]
O puede hacerlo explícitamente desde la fórmula de Gammas, el resultado es que
[matemáticas] \ Delta = {1 \ over \ sqrt {g}} \ partial ^ k \ sqrt {g} \ partial_k [/ math]
esto se puede usar para encontrar el laplaciano en coordenadas polares o coordenadas cilíndricas tan rápido como puedas escribirlo. La nemotécnica para recordar esto es que si haces una integral de volumen, los factores sqrt (g) tienen que cancelarse, luego integras partes, entonces sqrt (g) está allí nuevamente, porque en cualquier coordenada, el teorema de Stokes tiene que funcionar. Es lo mismo que la forma diferencial.
No estoy seguro si para otros casos, donde tiene símbolos de Christoffel no triviales, si es más rápido hacerlo de esta manera o directamente. Pero es mucho más rápido para los laplacianos con seguridad.