Álgebra abstracta: ¿Por qué el grupo de números racionales se considera un campo numérico mientras que los grupos de números reales y complejos no lo son (debido a su falta de responsabilidad)?

Answer 1

Creo que puede estar confundido acerca de varios puntos.

Primero, una definición: un campo numérico es una extensión finita de [math] \ mathbb {Q} [/ math], el campo de números racionales. “Extensión finita” significa que es un campo [math] K [/ math] que contiene [math] \ mathbb {Q} [/ math] y, considerado como un espacio vectorial sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math ], tiene dimensión finita.

Eso es todo al respecto. La “responsabilidad” no juega ningún papel en la definición. Por ejemplo, el campo [math] \ bar {\ mathbb {Q}} [/ math], el cierre algebraico de [math] \ mathbb {Q} [/ math], es contable pero no es un campo numérico, ni son muchas otras extensiones infinitas de [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Es cierto que cada campo de número es contable y, por lo tanto, cualquier extensión incontable de [math] \ mathbb {Q} [/ math] no es un campo de número.

Además, no debe usar los términos “grupo de números racionales” y “grupos de números reales y complejos”. De hecho, hay grupos que consisten en números racionales, reales o complejos (con la operación de suma), pero esos grupos son grupos , no campos.

La razón por la que las personas optaron por definir campos numéricos de esta manera es que es extremadamente útil enfocarse en extensiones finitas mientras se estudian las infinitas. Uno de los objetivos principales de la teoría de números algebraicos es comprender el campo [math] \ bar {\ mathbb {Q}} [/ math] y el grupo de Galois de [math] \ bar {\ mathbb {Q}} / \ mathbb {Q} [/ math], pero esas son entidades extremadamente complejas. Por lo tanto, los campos numéricos se utilizan para explorarlos “localmente”, un polinomio a la vez, por así decirlo.

Answer 2

Una de las cosas clave que hace con los campos de números algebraicos es estudiarlos como extensiones de Q. (Q en sí es trivialmente una extensión de Q.) Por ejemplo, puede verificar si existe una factorización única o no, o representar el campo de número algebraico como Una forma de traza integral.

R y C no se comportan muy bien desde esta perspectiva porque solo pueden representarse como extensiones infinitas de Q. No sería posible escribir una base integral para R o C, por lo que cualquier resultado que dependa de esto no aplicar.

Se podría imaginar que las definiciones cambiaron un poco para que R y C y posiblemente otros campos también se llamaran “campos de números algebraicos” y distinguimos “campos de números algebraicos de dimensiones finitas”, pero estos últimos parecen ser más interesantes y fructífero
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Answer 3

Los campos numéricos son interesantes porque el cierre integral de los enteros en ellos se comporta como una curva. (Son anillos de Dedekind.) Esto es falso para los campos reales y complejos. El hecho de que se comporten como curvas (es decir, son anillos de Dedekind) se explota en gran medida en la teoría de números.