La función de Euler [math] \ phi (q) [/ math] (equivalente, el símbolo [math] q [/ math] -Pochhammer [math]) proporciona un ejemplo relativamente natural de un número irracional no normal en base diez. (q; q) _ \ infty [/ math]):
[matemáticas] \ phi {\ left (\ frac {1} {10} \ right)} = \ left (\ frac {1} {10}; \ frac {1} {10} \ right) _ \ infty = \ prod_ {k = 1} ^ \ infty \ left (1 – \ left (\ frac {1} {10} \ right) ^ k \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {k = – \ infty} ^ \ infty (-1) ^ k \ left (\ frac {1} {10} \ right) ^ {k (3k – 1) / 2} [/ math ]
[matemáticas] \ aprox. 0.8900100999989990000001000099999999 \ ldots [/ matemáticas] (A132038),
donde la identidad que convierte el producto en una suma es el sorprendente teorema del número pentagonal de Euler. (¿Asombroso Euler o sorprendente teorema? Sí.) Este decimal consiste completamente de 0s y 9s excepto por el ocasional 1 y 8, pero no es repetitivo.
Como evidencia de que alguien realmente podría tener un uso para este número, vea Digamos que estaba jugando un juego. En el juego, tengo una probabilidad de 1 en 10 de ganar, luego 1 en 100, luego 1 en 1000, y así sucesivamente. Tengo un número infinito de intentos. ¿Cuáles son las posibilidades de que finalmente gane?
Las funciones theta elípticas dan otros ejemplos relacionados, por ejemplo,
[matemáticas] \ theta_3 {\ left (0, \ frac {1} {10} \ right)} = \ sum_ {k = – \ infty} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {10} \ right) ^ {k ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ prod_ {m = 1} ^ \ infty \ left (1 – \ left (\ frac {1} {10} \ right) ^ {2m} \ right) \ left (1 + \ left (\ frac {1} {10} \ right) ^ {2m – 1} \ right) ^ 2 [/ math]
[matemática] \ aproximadamente 1.2002000020000002000000002000000000 \ ldots [/ matemática] (A000122).
que muestra otro caso de la identidad del triple producto de Jacobi (“otro” porque el teorema del número pentagonal también es un caso).
Obviamente, podemos escribir números irracionales no normales similares en cualquier base. Algunos ejemplos no relacionados de números irracionales no normales con definiciones interesantes no relacionadas con dígitos son la constante de conejo, que tiene una expansión de fracción continua agradable, y la constante de Prouhet-Thue-Morse, que tiene una expresión de producto infinita agradable (ambos generalizar a cualquier base).
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Si está buscando un número irracional que no sea normal en todas las bases simultáneamente, necesitará observar construcciones mucho más artificiales, pero existen. El primero fue construido por Greg Martin, ” Números absolutamente anormales ” (2000):
[matemáticas] \ prod_ {j = 2} ^ \ infty 1 – \ frac {1} {j ^ {(j-1) ^ {(j-2) ^ {(j-3) ^ {\ ldots ^ {4 ^ {3 ^ {2 ^ {2 – 1} – 1} – 1} – 1} \ ldots} -1} -1}}} [/ math]
[matemáticas] = \ left (1 – \ frac {1} {2 ^ 2} \ right) \ left (1 – \ frac {1} {3 ^ {2 ^ {2 – 1}}} \ right) \ left (1 – \ frac {1} {4 ^ {3 ^ {2 ^ {2 – 1} – 1}}} \ right) \ cdots [/ math]
[matemática] \ aproximadamente 0.6562499999956991 \ underbrace {9999 \ ldots9999} _ {23 \, 747 \, 291 \, 559 \ 9s} 852840 \ ldots [/ math] (A220190).