¿Cómo encuentro el camino más corto entre dos puntos en la superficie de un objeto tridimensional?

Answer 1

La respuesta que le voy a dar está inspirada en una técnica utilizada en el aprendizaje automático llamada isomap (reducción de dimensionalidad no lineal). La respuesta que obtenga de esto solo será una respuesta aproximada.

La superficie de un objeto 3D no es más que un conjunto de puntos. No podemos aplicar el algoritmo isomap a todos los puntos en la superficie porque hay infinitos. Supongamos que muestreamos un número suficientemente grande de puntos (incluidos los puntos inicial y final) en esta superficie para preservar la estructura. Ahora haremos una gráfica a partir de estos puntos. Elija un tamaño de vecindario, diga [math] \ epsilon [/ math]. Para cada uno de los puntos muestreados, conéctelo a los puntos que están en [math] \ epsilon [/ math] cerca de él. El peso del borde será la distancia euclidiana entre ellos. La ruta más corta entre los dos puntos en la superficie se aproximará por la ruta más corta entre ellos en este gráfico.

NOTA:

1. El tamaño del vecindario es muy importante, determina qué tan bien la distancia en la superficie será aproximada por la ruta más corta del gráfico.
2. Este método funcionará mejor si la superficie es lisa.

Answer 2

Es correcto porque la transformación en desarrollo conserva las distancias de todas las curvas. Necesita una búsqueda finita a través de los diferentes desarrollos para encontrar la mejor línea, eso es todo.

Answer 3

Oh hombre. Hay una fórmula para esto, pero implica una geometría diferencial seria. Le pagué $ 200 a un estudiante de posgrado para que me lo explicara y apenas lo entiendo.

Una esfera es bastante fácil de calcular, es solo un gran círculo. ¿Pero encontrar la función en algo así como una topología de pozo de gravedad? Buena suerte.

El principio básico es que tome el ortogonal (barra perpendicular) en cada punto de su múltiple y construya una línea suave conectándolos entre sí. Algo así como un avión o nave espacial puede usar alerones (o su equivalente de cohete) para girar para que nunca sientas Gs de lado.