Esta no es una respuesta completa, pero pensé que valía la pena compartir algunas reflexiones sobre el problema para que alguien mejor en este tipo de matemática pueda resolverlo:
Para cualquier conjunto múltiple de números iniciales [matemática] S [/ matemática], el número superior [matemática] T [/ matemática] se puede encontrar tomando una sola permutación de los números e interpolando con la suma de la enésima fila de pascales triángulo donde n es la cardinalidad del conjunto [math] | S | [/ math]. Por ejemplo:
[matemáticas] S = {1, 3, 6, 8} [/ matemáticas]
[matemáticas] P (S) = {3, 8, 1, 6} [/ matemáticas]
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La suma de la cuarta fila de Pascal’s [matemática] = 1 + 3 + 3 + 1 [/ matemática]
[matemáticas] T = 1 (3) + 3 (8) + 3 (1) + 1 (6) = 36 [/ matemáticas]
Así que ahora considere que si tomamos cualquier P de varios conjuntos de una fila de Pascal y hacemos un conjunto ordenado Q de los coeficientes de esta manera:
Si [matemática] P = {1, 3, 3, 1} [/ matemática] entonces [matemática] Q = {1, 3} [/ matemática]
Si [matemática] P = {1, 4, 6, 4, 1} [/ matemática] entonces [matemática] Q = {1, 4, 6} [/ matemática]
Q nos da otra forma válida de obtener T. Para las cardinalidades pares de P, elegimos 2 elementos a la vez de S y multiplicamos cada uno de ellos por un elemento elegido de Q. Para cardinalidades impares, multiplicaremos el último elemento restante de S por último elemento de Q. Por ejemplo:
[matemáticas] T = 1 (3 + 6) + 3 (8 + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] T = 1 (3 + 6) + 4 (8 + 1) + 6 (5) [/ matemáticas]
Entonces, en general, para cada término en Q, elegimos dos elementos de S y los sumamos. Dado que el orden de cada par no importa, solo la suma final, podemos construir un R de varios conjuntos que contiene las sumas de todos los conjuntos posibles de tamaño 2 que se pueden crear a partir de S. La cardinalidad de R sería [matemática] C (| S |, 2) [/ matemáticas]. En este punto, podemos encontrar el número de valores posibles para T tomando permutaciones de tamaño igual a los elementos [math] \ lfloor \ frac {| P |} {2} \ rfloor [/ math] de R. Entonces, en nuestro ejemplo :
[matemáticas] R = {4, 7, 9, 9, 11, 14} [/ matemáticas]
[matemáticas] | R | = 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] C (| R |, 2) = \ frac {6!} {4!} = 30 [/ matemáticas]
Pero espere, esta no es la respuesta correcta a nuestra pregunta de ejemplo porque nuestro R multiset contiene elementos duplicados. Si los eliminamos, entonces la respuesta es en realidad [matemáticas] \ frac {5!} {4!} [/ Matemáticas] o 5. Por lo tanto, necesitamos construir un conjunto a partir de R y utilizarlo en nuestros cálculos.
Tenga en cuenta que para cardinalidades impares de S también tendremos que multiplicar nuestro valor final por el número de elementos únicos en S.
Entonces, dado que no puedo pensar en una forma rápida de determinar el número de elementos duplicados, lo mejor que puedo hacer es ofrecer un límite superior en el número de valores de T. También puedo decir con certeza que el límite inferior siempre es 1.