En términos simples, ¿qué es un lagrangiano?

Answer 1

En términos simples

Después de un montón de experimentos y de pensarlo mucho, has inventado una nueva forma de construir casas de troncos. No son las cabañas de madera del pobre hombrecito, sino las lujosas mansiones de tres pisos de cinco mil pies cuadrados nunca antes vistas con un bar incorporado, sauna, cancha de tenis, cine, garaje para 25 autos y una plataforma de aterrizaje de helicópteros.

Sin embargo, después de un tiempo, las personas que estaban construyendo tales casas notaron algo peculiar sobre el proceso de construcción: a menudo requería la fabricación de productos especiales, únicos en su tipo, que se tiran después del trabajo que nunca Herramientas para ser usadas nuevamente. Y en un terreno desconocido, en los nuevos lugares ni siquiera estaba claro: cómo y dónde comenzar. La construcción de edificios de 30 pisos estaba fuera de discusión.

Más tarde, sin embargo, has descubierto dos herramientas principales, una de las cuales se llamaba lagrangiana . Con estas herramientas, no solo erigir las mansiones anteriores se convirtió en una rutina, sino que también fue posible construir unidades igualmente lujosas de diferentes materiales: casas de ladrillo, casas de piedra, casas de arcilla, casas de madera contrachapada, casas de acero y vidrio, ¡lo que sea!

Diablos, con las increíbles herramientas recién descubiertas, podría combinar sin esfuerzo diferentes tipos de materiales en un edificio y el resultado funcionaría perfectamente bien: una pared podría ser de troncos, la otra, de ladrillos, la otra, de piedras, la otra. de vidrio y acero. No importa la combinación de tipos de materiales, la casa saldrá perfecta.

Pero espera hay mas.

Las diferentes configuraciones de casas se convirtieron en una brisa: ¿quieres un rancho extenso, bajo pero amplio? No hay problema. ¿Rascacielos estrecho pero alto? Nada de eso. ¿Extenso y alto? Solo un estornudo. ¿Extendidos, altos y retorcidos en espiral ? Viniendo atcha. ¿En forma de esfera? Yaaaawn, el siguiente. Un cilindro? Vete, ¿quieres …

Pero espera hay mas.

Algún tiempo después, descubres que esta cosa lagrangiana que puede llamarse algo se puede aplicar para construir muchas más cosas: aviones, trenes y automóviles, submarinos y cruceros y naves espaciales, relojes de pulsera y refrigeradores, plantas de energía nuclear y microscopios, cosas de todo tipo de la naturaleza. . Es solo elegancia y belleza en sí mismas.

En términos laicos

Antes de que te pierdas por completo en la vertiginosa variedad de subíndices y signos de suma, aquí hay una forma simplificada, de una sola dimensión y, aunque no se garantiza que sea absolutamente históricamente precisa, diría una forma históricamente plausible de llegar a una de las herramientas: la Lagrangian.

1687, Isaac Newton (1642-1726):

[matemáticas] F = m \ ddot x \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

(históricamente precisa es la fórmula anterior redactada mediante el cambio de momento (lineal) , pero aquí me tomé la libertad de sustituir la segunda derivada de la coordenada espacial [matemáticas] x [/ matemáticas] con respecto al tiempo [matemáticas] t [/ math] in – eso es lo que significan estos dos puntos arriba de [math] x [/ math], [math] m [/ math] se supone que es constante).

1743, d’Alembert (1717–1783):

[matemáticas] F – m \ ddot x = 0 \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ delta W = (F – m \ ddot x) \ delta x = 0 \ tag {2} [/ matemáticas]

( 1 ) no es un chamán bailarín que golpea el tambor o el aceite de serpiente mueve esto sin sentido; es una idea bastante profunda que conecta la estática y la dinámica (en ciertas condiciones, búscalo tú mismo).

En ( 2 ) utilizamos nuestra definición de trabajo en física: la variedad de jardín de infantes, cuando las cosas son constantes, es la fuerza por la distancia y cuando las cosas varían, entonces es [matemática] dW = Fdx [/ matemática] o una ruta integral de la fuerza (sobre un camino)

D’Alambert ( 2 ) captura su idea de los desplazamientos virtuales: si un sistema de partículas libres está en equilibrio, entonces el trabajo total realizado por todas las fuerzas en un pequeño desplazamiento virtual es cero .

Discutiremos el operador [math] \ delta [/ math] en breve.

(Barra lateral: el mismo principio (en principio) aparentemente fue formulado en 1716 por el matemático suizo Jacob Herman (1678-1733) y desarrollado en 1737 por Leonard Euler (1707-1783). Ambos hombres estuvieron por algún tiempo al servicio de La Academia de Ciencias de Rusia en San Petersburgo)

1755, Lagrange:

Introduzca una variable independiente [math] q [/ math] que representa una coordenada generalizada , solo una, de la cual [math] x [/ math] ahora es una función:

[matemáticas] x = x (q) \ etiqueta {3} [/ matemáticas]

Digamos, en coordenadas polares [matemáticas] x = r \ cos (\ theta) [/ matemáticas] y luego el ángulo [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] sería nuestra coordenada generalizada [matemáticas] q [/ matemáticas].

Por definición, el operador [math] \ delta [/ math], que representa un pequeño desplazamiento virtual, es un diferencial total intemporal de alguna función, cuando el tiempo [math] t [/ math] está congelado o [math] t = 0 [/ matemáticas].

Aplicar [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] a ( 3 ):

[matemáticas] \ delta x = \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ delta q \ tag {4} [/ matemática]

Expande ( 2 ) multiplicándolo por [math] \ delta x [/ math] y reemplaza [math] \ delta x [/ math] del segundo término con ( 4 ):

[matemáticas] F \ delta x – m \ ddot x \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ delta q = 0 \ tag {5} [/ matemáticas]

Primer término en ( 5 )

Tratamos el primer término en ( 5 ), [matemática] F \ delta x [/ matemática], a través de una definición: para una fuerza conservadora , que es una cantidad vectorial, es conveniente introducir el campo escalar correspondiente llamado potencial , [matemáticas] U [/ matemáticas]:

[matemática] F \ delta x = – \ delta U \ etiqueta * {} [/ matemática]

reescribiendo lo que en términos de [matemáticas] q [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] F \ delta x = – \ delta U = – \ dfrac {\ partial U} {\ partial q} \ delta q \ tag {6} [/ math]

y dejamos que ( 6 ) hornee porque la batalla principal se desarrollará para el segundo término en ( 5 ).

Segundo plazo en ( 5 ) :

[matemáticas] \ ddot x \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ tag {7} [/ matemática]

El objetivo final de esta batalla es deshacerse de la segunda derivada en [matemática] x [/ matemática] y reemplazarla con las primeras derivadas en [matemática] x [/ matemática], que, a través de la maquinaria de diferenciación, será al cuadrado, que, efectivamente, los convertirá en energía cinética.

Paso 1: vemos que la segunda derivada [matemáticas] \ ddot x [/ matemáticas] es en realidad una primera derivada de la primera derivada de [matemáticas] x [/ matemáticas] con respecto al tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas]. Por lo tanto, creemos que el término ( 7 ) es un trozo de metralla que queda después de que se calculó una derivada de un determinado producto. Que tipo de producto Bueno, este producto es fácil de reconstruir:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ Big (\ dot {x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ Big) \ tag * {} [/ math]

Diferenciar lo anterior por la regla de la cadena (de diferenciación de funciones compuestas):

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ Big (\ dot {x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ Big) = \ ddot {x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} + \ dot {x} \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ tag * {} [/ math]

Aislar el término ( 7 ):

[matemáticas] \ ddot {x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} = \ dfrac {d} {dt} \ Big (\ dot {x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ Grande) – \ dot {x} \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ tag {8} [/ math]

Paso 2: en ( 8 ) abordamos el primer término en el lado derecho del signo igual. Aquí el sospechoso es:

[matemática] \ dfrac {\ parcial x} {\ parcial q} \ etiqueta {9} [/ matemática]

que podemos comprender de la siguiente manera: diferenciando ambos lados de ( 3 ) con el tiempo [math] t [/ math]:

[matemáticas] \ dot {x} = \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ dot {q} \ tag {10} [/ matemáticas]

introduce una nueva magnitud, [math] \ dot {q} [/ math], que de ahora en adelante, esto es importante, tratamos como una variable independiente : el nivel de atomicidad, si se quiere, de esa variable cuando se trata de la diferenciación es esa variable en sí misma: no hacemos énfasis en no, la consideramos dependiente de otra cosa (si esto suena demasiado confuso, cambie el nombre de [math] \ dot {q} [/ math] a otra cosa y al final Relájese su sustitución de nuevo).

Por lo tanto, cuando diferenciamos ( 10 ) con respecto a [math] \ dot {q} [/ math] una vez, obtenemos:

[matemáticas] \ dfrac {\ partial \ dot {x}} {\ partial \ dot {q}} = \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ tag {11} [/ matemáticas]

y hemos domesticado a nuestro sospechoso: pon ( 11 ) en ( 9 ):

[matemáticas] \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} = \ dfrac {\ partial \ dot {x}} {\ partial \ dot {q}} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, el primer término en ( 8 ) se convierte en:

[matemáticas] \ dot {x} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} = \ dot {x} \ dfrac {\ partial \ dot {x}} {\ partial \ dot {q}} \ tag * { }[/matemáticas]

y dado que [math] \ dot {x} [/ math] es uno y lo mismo “diferenciamos en reversa” – llevamos [math] \ dot {x} [/ math] bajo el diferencial (de [math] \ dot {x} [/ matemáticas]):

[matemáticas] \ dot {x} \ dfrac {\ partial \ dot {x}} {\ partial \ dot {q}} = \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ partial \ dot {x} ^ 2} {\ partial \ dot {q}} \ tag * {} [/ math]

y hemos terminado con el primer término de ( 8 ) que ahora es:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ partial \ dot {x} ^ 2} {\ partial \ dot {q}} \ tag {12} [/ math]

Paso 3: en el segundo término:

[matemáticas] \ dot {x} \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ tag {13} [/ matemática]

Llevamos a cabo la diferenciación en ( 13 ) a lo largo del tiempo [matemática] t [/ matemática] según la regla de la cadena:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} = \ dfrac {\ partial} {\ partial {q}} \ Big (\ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ Big) \ dot {q} \ tag * {} [/ math]

Recuerde ahora que [math] \ dot {q} [/ math] es una variable independiente, lo que significa que su derivada sobre [math] q [/ math] es cero. Por lo tanto, podemos llevar [math] \ dot {q} [/ math] bajo el operador derivado privado anterior:

[matemáticas] \ dfrac {\ partial} {\ partial {q}} \ Big (\ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ Big) \ dot {q} = \ dfrac {\ partial} {\ partial { q}} \ Big (\ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ dot {q} \ Big) \ tag * {} [/ math]

Pero ahora la cosa entre paréntesis grandes es nuestro amigo de ( 10 ) y por lo tanto:

[matemáticas] \ dfrac {\ partial} {\ partial {q}} \ Big (\ dfrac {\ partial x} {\ partial q} \ dot {q} \ Big) = \ dfrac {\ partial \ dot {x} } {\ partial {q}} \ tag * {} [/ math]

La derivada del tiempo en ( 13 ) se convierte en:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} = \ dfrac {\ partial \ dot {x}} {\ partial {q}} \ tag * {} [/ math ]

y vemos que, nuevamente, se encuentran dos [matemáticas] \ dot {x} [/ matemáticas]: el término completo ( 13 ) después de la diferenciación inversa es ahora:

[matemáticas] \ dot {x} \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} = \ dot {x} \ dfrac {\ partial \ dot {x}} {\ partial {q }} = \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ partial \ dot {x} ^ 2} {\ partial {q}} \ tag {14} [/ math]

Paso 4: ensamblar las piezas para ( 7 ):

[matemáticas] \ ddot x \ dfrac {\ partial x} {\ partial q} = \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ partial \ dot {x} ^ 2} {\ parcial \ dot {q}} – \ dfrac {1} {2} \ dfrac {\ partial \ dot {x} ^ 2} {\ partial {q}} \ tag {15} [/ math]

Ponga ( 6 ) y ( 15 ) nuevamente en ( 5 ):

[matemáticas] – \ dfrac {\ partial U} {\ partial q} \ delta q – \ dfrac {m} {2} \ dfrac {d} {dt} \ Big (\ dfrac {\ partial \ dot {x} ^ 2} {\ partial \ dot {q}} \ Big) \ delta q + \ dfrac {m} {2} \ dfrac {\ partial \ dot {x} ^ 2} {\ partial {q}} \ delta q = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Mueva el término potencial, lleve el término constante [matemática] 0.5m \ dot {x} ^ 2 [/ matemática] debajo del diferencial y factorice [matemática] \ delta {q} [/ matemática]:

[matemática] \ Big (- \ dfrac {d} {dt} \ Big (\ dfrac {\ partial \ dfrac {m \ dot {x} ^ 2} {2}} {\ partial \ dot {q}} \ Big ) + \ dfrac {\ partial \ dfrac {m \ dot {x} ^ 2} {2}} {\ partial {q}} – \ dfrac {\ partial U} {\ partial q} \ Big) \ delta {q } = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

La primera derivada de [matemáticas] x [/ matemáticas] a lo largo del tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] es la velocidad tradicional (no generalizada) y, por lo tanto, bajo el diferencial parcial tenemos:

[matemáticas] \ dfrac {m \ dot {x} ^ 2} {2} = \ dfrac {mv ^ 2} {2} = T \ tag * {} [/ matemáticas]

donde [math] T [/ math] significa energía cinética (del sistema):

[matemáticas] \ Big (- \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial T} {\ partial \ dot {q}} + \ dfrac {\ partial T} {\ partial {q}} – \ dfrac { \ partial U} {\ partial q} \ Big) \ delta {q} = 0 \ tag * {} [/ math]

Como [math] \ delta {q} [/ math] no es cero, es el término entre paréntesis que debe ser cero:

[matemáticas] – \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial T} {\ partial \ dot {q}} + \ dfrac {\ partial T} {\ partial {q}} – \ dfrac {\ partial U } {\ partial q} = 0 \ tag * {} [/ math]

Multiplique la ecuación anterior por -1 y recopile los términos que se diferencian con respecto a la misma variable [matemáticas] q [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial T} {\ partial \ dot {q}} – \ Big (\ dfrac {\ partial T} {\ partial {q}} – \ dfrac {\ parcial U} {\ partial q} \ Big) = 0 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial T} {\ partial \ dot {q}} – \ dfrac {\ partial (T – U)} {\ partial {q}} = 0 \ tag *{}[/matemáticas]

Como [math] U [/ math] no depende de [math] t [/ math] y no depende de [math] \ dot {q} [/ math]:

[matemáticas] \ dfrac {\ partial U} {\ partial \ dot {q}} = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[math] \ dfrac {d 0} {dt} = \ dfrac {d 0} {dt} \ dfrac {\ partial U} {\ partial \ dot {q}} = 0 \ tag * {} [/ math]

tenemos:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial (T – U)} {\ partial \ dot {q}} – \ dfrac {\ partial (T – U)} {\ partial {q}} = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por último, designe [matemáticas] T – U = L [/ matemáticas], el lagrangiano:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} – \ dfrac {\ partial L} {\ partial {q}} = 0 \ tag * {} [ /matemáticas]

y sale la ecuación que, cuando se anima con las coordenadas generalizadas, produce las ecuaciones de movimiento.

Haga una pregunta por separado, pero se puede demostrar que cuando [matemáticas] L [/ matemáticas] se sustituye en una integral integral llamada acción , asígnele el nombre [matemáticas] S [/ matemáticas], luego la primera variación de acción desaparece:

[matemáticas] \ delta S (L) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Para ver el lagrangiano en acción, puede leer esta respuesta de Quora donde deducimos la ecuación de movimiento de un péndulo matemático de tres maneras diferentes al pasar de Newton a Lagrange a Torque. En esta publicación de Quora, el lagrangiano se usa exclusivamente.

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Discurso breve: ahora tienes tu trabajo hecho para ti. Generalice lo anterior para un número finito de grados de libertad, digamos [matemáticas] f [/ matemáticas], para [matemáticas] f [/ matemáticas] coordenadas generalizadas [matemáticas] q_1, q_2, q_3, \ ldots, q_f [/ matemáticas] y mantenga esta respuesta como una especie de guía: cuándo y si siente que está perdido. Hay mucho más que aprender sobre los lagrangianos. Buena suerte.

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Para respaldar mi afirmación de que “los materiales de diferentes tipos se pueden mezclar y combinar”, considere el siguiente problema:

en el estado inicial estable, una varilla sin masa de longitud [matemática] l [/ matemática] que gira a una velocidad angular constante [matemática] \ omega_0 [/ matemática] en el plano horizontal alrededor de un eje vertical fijo tiene una cuenta masiva unida a con un hilo de longitud [math] l_0 [/ math] :

Después de cortar el hilo que mantiene el cordón en su posición, el cordón comienza a deslizarse a lo largo de la barra alejándose del eje de rotación sin fricción. Encuentre: 1) la velocidad de la cuenta en relación con la barra en el momento en que la cuenta se separa y se desliza fuera de la barra; 2) la separación de la cuenta o el recorrido a lo largo del tiempo de la barra

Aquí podemos mezclar las variables de dos tipos: lineal, [matemática] x [/ matemática], como la distancia de la cuenta desde el eje de rotación y angular, [matemática] \ theta [/ matemática]. También observamos que, dado que la distancia del objeto masivo desde el centro de rotación varía, también lo hará, en términos simples, el esfuerzo para rotar el sistema a una velocidad angular constante.

Aquí somos libres de establecer la energía potencial del sistema en cero y observar que para mover la cuenta en el plano horizontal por [matemática] \ delta x [/ matemática] la fuerza debida a la gravedad [matemática] mg [/ matemática] No hago ningún trabajo. Por lo tanto, la primera ecuación se convierte en:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial T} {\ partial \ dot {x}} – \ dfrac {\ partial T} {\ partial {x}} = 0 \ tag * {} [ /matemáticas]

El equivalente para la variable generalizada [matemática] \ theta [/ matemática] no será igual a cero ya que para rotar la cuenta por [matemática] \ delta \ theta [/ matemática] se realiza un trabajo distinto de cero: [matemática] \ delta W = \ tau \ delta \ theta [/ math], donde [math] \ tau [/ math] es un par (variable). Por lo tanto, la segunda ecuación se convierte en:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial T} {\ partial \ dot {\ theta}} – \ dfrac {\ partial T} {\ partial {\ theta}} = \ tau \ tag * {}[/matemáticas]

La energía cinética del sistema se compone de la energía cinética de la cuenta:

[matemáticas] \ dfrac {m (\ dot {x} ^ 2 + x ^ 2 \ dot {\ theta} ^ 2)} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

más la energía cinética de la varilla giratoria:

[matemáticas] \ dfrac {J_r \ dot {\ theta} ^ 2} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

etc.

Resolviendo el sistema resultante de ecuaciones, encontramos:

[matemáticas] x (t) = l_0 \ dfrac {e ^ {\ omega_0 t} + e ^ {- \ omega_0t}} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tau (x) = 2m \ omega_0 ^ 2x \ sqrt {x ^ 2 – l_0 ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

El tiempo de separación [math] t_s [/ math]:

[matemáticas] t_s = \ dfrac {1} {\ omega_0} \ ln \ Bigg (\ frac {l} {l_0} + \ sqrt {\ Big (\ dfrac {l} {l_0} \ Big) ^ 2 – 1} \ Bigg) \ tag * {} [/ math]

y la velocidad de separación [matemática] v_s [/ matemática]:

[matemáticas] v_s = \ omega_0 \ sqrt {l ^ 2 – l_0 ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

y así.

Answer 2

En términos simples, el lagrangiano es un funcional que satisface el principio de menor acción, conocido como el principio de Hamilton.

El origen del lagrangiano está arraigado en las matemáticas de las integrales del camino y no es necesariamente amigable para los laicos. Sin embargo, en general, el lagrangiano identifica matemáticamente un camino único, que simplemente se asigna perfectamente a la forma en que los sistemas físicos evolucionan en el tiempo. Es la correspondencia entre un camino matemático único y la evolución del tiempo físico lo que ha encontrado una aplicación directa en la descripción de los sistemas físicos.

El origen matemático del lagrangiano a menudo no se aclara claramente en los textos de física sobre mecánica clásica.

Cuando originalmente tomé el curso de segundo año de mecánica clásica, estaba bastante confundido acerca de lo que era un lagrangiano. El profesor lo presentó como un hecho sin ninguna ayuda para la comprensión. Así que simplemente me senté en el curso, hice el examen y luego lo dejé a un lado, dejando que una de las herramientas más poderosas de la física se pudriera en un oscuro recoveco de mi cerebro, sin tratar de aclarar los conceptos subyacentes. Recuerdo que me preguntaba por qué el lagrangiano debería ser dado por [math] L = TV [/ math]. Ahora me doy cuenta de que ese es el lagrangiano que satisface la ecuación de movimiento de Newton. Es el concepto de lagrangiana lo que es más importante, no la forma particular.

En términos no tan simples, ilustraré a continuación el procedimiento matemático usando el cálculo de variaciones que resulta en la identificación del lagrangiano.

La derivación a continuación es puramente matemática, sin ninguna consideración de ningún sistema físico o leyes físicas. Solo al final de la derivación hago un cambio entre las matemáticas y la física simplemente observando una correspondencia y cambiando la notación.

¿Qué información necesitamos para definir un camino?

Si tenemos el valor, [matemática] y [/ matemática] en algún punto [matemática] x [/ matemática], no hay suficiente información para decirnos cómo pasar al siguiente punto, en [matemática] x + \ Delta x [/matemáticas]. Sin embargo, si tenemos la primera derivada, [math] y ‘[/ math], entonces podemos pasar al siguiente punto. Por lo tanto, se puede construir una ruta con un valor inicial y una dirección hacia el siguiente valor a medida que variamos algún parámetro, [math] x [/ math].

Considere algunas funciones [matemáticas] F (y (x), y ‘(x), x) [/ matemáticas] que describen una ruta, donde [matemáticas] y (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] y’ (x ) [/ math] son ​​números parametrizados por el valor de [math] x [/ math] que tienen información suficiente para determinar el siguiente paso. A medida que aumentamos el parámetro [math] x [/ math], nos movemos a lo largo del camino.

Es simple escribir la ruta integral usando el funcional en este formulario. Consideremos entonces la integral de la ruta entre dos valores [matemática] x = a, b [/ matemática].

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_a ^ b F (y (x), y ‘(x), x) \, dx [/ math]

Ahora consideremos una ruta alternativa que comienza y termina en los mismos puntos [math] x = a, b [/ math]. Podemos definir la nueva ruta cambiando el valor, [math] y (x) [/ math] de la ruta y su derivada en cada punto de acuerdo con,

[matemáticas] Y (x) = y (x) + \ epsilon \ eta (x) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ eta (a) = \ eta (b) = 0 [/ matemáticas].

Este nuevo camino comienza y termina en los mismos puntos, pero difiere arbitrariamente entre los dos puntos finales. Cualquier camino alternativo se puede construir de esta manera. [math] \ epsilon [/ math] es el parámetro variacional tal que como [math] \ epsilon \ a 0 [/ math] recuperamos la ruta original.

La integral a lo largo de estos otros caminos viene dada por

[matemáticas] I_Y = \ displaystyle \ int_a ^ b F (Y (x), Y ‘(x), x) \, dx [/ math]

Ahora tenemos toda una serie de integrales correspondientes a diferentes caminos. ¿Cómo elegimos nuestro camino especial, de todos los otros caminos? Podemos buscar una propiedad de nuestro camino especial que la identifique de manera única entre todos los demás. Una de esas propiedades es que la integral correspondiente a nuestro camino deseado es, en cierto sentido, única. Esto puede satisfacerse si la ruta integral es mínima (o más generalmente extrema).

Puede ser útil agregar en este punto que la longitud mínima del camino generalmente está bien definida, mientras que otras soluciones extremas generalmente no están bien definidas. Por ejemplo, generalmente no es posible encontrar una longitud de ruta máxima porque se puede construir fácilmente una ruta más larga. Por lo tanto, el término “minimización de ruta” se usa generalmente. (Tenga en cuenta que si definimos nuestras longitudes de ruta como negativas, entonces buscaremos una solución máxima)

Si requerimos que la ruta mínima sea [math] I [/ math], entonces podemos tomar la derivada de la integral con respecto a [math] \ epsilon [/ math] (evaluada en el límite de [math] \ epsilon = 0 [/ math]) y lo siguiente es cierto,

[matemáticas] \ left. \ dfrac {d I_Y} {d \ epsilon} \ right | _ {\ epsilon = 0} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ izquierda. \ displaystyle \ int_a ^ b \ dfrac {d} {d \ epsilon} F (Y (x), Y ‘(x), x) \ right | _ {\ epsilon = 0} \, dx = 0 [/ matemáticas]

Podemos evaluar las derivadas con respecto a [math] \ epsilon [/ math] en la integral usando la regla de la cadena de la siguiente manera,

[matemáticas] \ dfrac {dF} {d \ epsilon} = \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y} \ dfrac {\ partial Y} {\ partial \ epsilon} + \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ dfrac {\ partial Y’} {\ partial \ epsilon}. [/ Math]

Tenemos,

[matemáticas] \ dfrac {\ partial Y} {\ partial \ epsilon} = \ eta (x) [/ math]

[matemática] \ dfrac {\ parcial Y ‘} {\ parcial \ epsilon} = \ eta’ (x) [/ matemática]

Así obtenemos la integral,

[matemáticas] \ left. \ displaystyle \ int_a ^ b \ left (\ dfrac {\ partial F} {\ partial Y} \ eta + \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta’ \ right) \ right | _ {\ epsilon = 0} \, dx = 0 [/ math]

Luego usamos sustituto para el segundo término,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta’ \, dx = \ left. \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta \ right | _a ^ b – \ displaystyle \ int_a ^ b \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta \, dx [/ math]

Observamos que según nuestra definición inicial de [math] \ eta [/ math], que,

[matemáticas] \ izquierda. \ dfrac {\ parcial F} {\ parcial Y ‘} \ eta \ derecha | _a ^ b = 0 [/ matemática]

dejando la siguiente integral,

[matemáticas] \ left. \ dfrac {d I_Y} {d \ epsilon} \ right | _ {\ epsilon = 0} = \ left. \ displaystyle \ int_a ^ b \ left (\ dfrac {\ partial F} {\ partial Y} – \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ right) \ right | _ {\ epsilon = 0} \ eta \, dx [/ math]

En general, la integral va a cero para cualquier función, [matemática] F [/ matemática] en [matemática] \ epsilon = 0 [/ matemática] satisfactoria,

[matemáticas] \ dfrac {\ partial F} {\ partial y} – \ dfrac {d} {dx} \ dfrac {\ partial F} {\ partial y ‘} = 0 [/ math]

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange.

La función funcional que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange se llama lagrangiana.

La derivación anterior fue completamente una técnica matemática para encontrar la solución de ruta mínima, entre todas las otras rutas alternativas.

La definición matemática de una ruta corresponde muy naturalmente a los sistemas físicos donde la posición y la velocidad están parametrizadas por el tiempo . De hecho, hablamos de la posición generalizada y la velocidad para mostrar que la técnica es más ampliamente aplicable.

Así definimos la acción , [matemática] S [/ matemática], como,

[matemáticas] S = \ displaystyle \ int_a ^ b L \, dt [/ matemáticas]

que debe ser un mínimo de acuerdo con las propiedades de los lagrangianos.

Sabemos que la acción debe ser mínima porque hemos derivado las condiciones para que esto sea así. Así podemos ver que el lagrangiano es solo el funcional que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange. Cuando mapeamos esta construcción matemática en sistemas físicos, encontramos que podemos recuperar todas las leyes físicas apropiadas.

El principio de la menor acción simplemente proporciona un método poderoso y más general para resolver problemas en física. Sin embargo, sus raíces están puramente en lógica matemática. Puede ver en la derivación de la acción que el lagrangiano se identificó utilizando una definición matemática de una ruta. Utilizamos la minimización para seleccionar una ruta especial, entre muchas otras rutas. Descubrimos que la ruta funcional, llamada lagrangiana, debe satisfacer las ecuaciones de Euler-Lagrange para que tenga la longitud mínima de la ruta. Solo al final identificamos el parámetro con el tiempo y llamamos a la longitud mínima de la ruta, la acción . La razón por la que podemos usar la mecánica lagrangiana con la física es que podemos mapear la dinámica física en el concepto matemático de un camino .

……

EDITAR: Me gustaría completar el ciclo de comprensión o tomar el círculo completo. Mi motivación para ahondar en estas aguas fue obtener cierta intuición sobre por qué [matemáticas] L = TV [/ matemáticas].

Se ha demostrado que el principio de menor acción se origina en las matemáticas de la minimización de caminos. El lagrangiano se especifica como el funcional que minimiza la acción. Las propiedades necesarias del lagrangiano están definidas por las ecuaciones de Euler-Lagrange. Hasta ahora no hemos introducido realmente la conexión con la mecánica lagrangiana, salvo en un sentido abstracto.

Considere las ecuaciones de Euler-Lagrange,

[matemáticas] \ dfrac {\ partial L} {\ partial q} – \ dfrac {d} {dt} \ dfrac {\ partial L} {\ partial q ‘} = 0 [/ math]

donde hemos usado la notación estándar para posición generalizada y velocidad, [matemática] q (t) [/ matemática] y [matemática] q ‘(t) [/ matemática].

Ahora intentemos mapear esto en un sistema físico. La ruta matemática estará relacionada , ¡pero no será la misma que la trayectoria de la partícula!

En cualquier momento, la partícula tendrá energía potencial, que es función de su posición, [matemática] V (q) [/ matemática] y energía cinética que es función de su velocidad, [matemática] T (q ‘ )[/matemáticas]. Podemos intentar construir un lagrangiano a partir de estas dos propiedades. Considere, [matemáticas] L = TV. [/ Matemáticas] Si sustituimos esto en las ecuaciones de Euler-Lagrange, encontramos que el primer término solo actúa en el término de energía potencial, mientras que el segundo solo actúa en el término de energía cinética. Para [math] T = \ frac {1} {2} mv ^ 2, [/ math] el segundo término se convierte en, [math] ma. [/ Math] El primer término es [math] – \ dfrac {\ partial V} {\ partial q}, [/ math] que es solo la fuerza que actúa sobre la partícula. Así obtenemos la ley de fuerza de Newton, [matemáticas] F = ma [/ matemáticas].

Este simple ejemplo muestra cómo funciona el principio de mínima acción para la física. Sin embargo, también ilustra que encontrar el lagrangiano es en realidad parte del proceso. La prescripción de que [matemática] L = TV [/ matemática] no necesariamente funciona en todos los casos. Simplemente funciona en el caso de la dinámica newtoniana. El enfoque lagrangiano a través del principio de menor acción es mucho más general que esto y, en consecuencia, mucho más poderoso.

……

EDIT 2 Un enfoque diferente para encontrar el lagrangiano.

En el primer ejemplo encontramos que la expresión para el lagrangiano, [matemática] L = TV [/ matemática], satisfizo las ecuaciones de Euler-Lagrange. Sin embargo, en general, el lagrangiano no se expresa de manera tan simple y, en realidad, debe ser más cuidadoso en la búsqueda del lagrangiano apropiado. El mejor ejemplo del enfoque más general es cuando consideramos una partícula libre relativista. En este caso, no podemos simplemente usar la definición que funcionó para el caso no relativista.

En este ejemplo, comenzamos con el intervalo invariante relativista de espacio-tiempo.

[matemáticas] ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2-c ^ 2dt ^ 2 [/ matemáticas]

Observamos que los observadores en todos los marcos de referencia están de acuerdo con la expresión anterior. Además, podemos ver que el intervalo invariante también tiene la forma de una ruta, por lo que el principio de menor acción puede usarse directamente en este caso y el intervalo invariante espacio-tiempo puede usarse para construir la acción integral. Primero escribimos el invariante en una forma en la que hemos notado que los intervalos de distancia coordinada, [math] dx = v_x dt. [/ Math] Por lo tanto, podemos escribir el invariante en una forma compacta,

[matemáticas] ds ^ 2 = (v ^ 2-c ^ 2) dt ^ 2 [/ matemáticas]

Está claro que, como está escrito, el intervalo invariante es negativo, por lo que podemos usar un incremento positivo, expresado en términos del tiempo apropiado, [matemáticas] \ tau [/ matemáticas],

[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (c ^ 2-v ^ 2) dt ^ 2 [/ matemáticas]

tomando la raíz cuadrada,

[matemáticas] d \ tau = \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} dt [/ matemáticas]

Ahora simplemente integramos el incremento de tiempo adecuado,

[matemáticas] \ tau = \ displaystyle \ int _ {\ tau_i} ^ {\ tau_f} \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} dt [/ math]

Esta forma se parece a la acción, ya que representa el camino integrado a través del tiempo adecuado y es una solución válida para la dinámica de partículas relativistas.

En esta etapa no tenemos el lagrangiano, sino un camino integral que sea consistente con la dinámica relativista. La acción debe ser proporcional a esta solución, de modo que [matemática] S = k \ tau [/ matemática], dando,

[matemáticas] S = \ displaystyle \ int _ {\ tau_i} ^ {\ tau_f} k \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} dt [/ matemáticas]

De la acción, podemos extraer el relativista lagrangiano,

[matemáticas] L = k \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora para encontrar [matemáticas] k. [/ Matemáticas]

Para continuar utilizamos algunas asociaciones que pueden derivarse fácilmente en el caso no relativista. En particular, el impulso viene dado por,

[matemáticas] p = \ dfrac {\ parcial L} {\ parcial v} [/ matemática]

[matemáticas] = – \ dfrac {kv} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]

En el límite no relativista de baja velocidad, el denominador es simplemente, c y obtenemos,

[matemáticas] p = – \ frac {k} {c} v [/ matemáticas]

de donde podemos determinar la constante, [math] k = -mc [/ math].

Así el lagrangiano es,

[matemáticas] L = -mc \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]

Desde aquí podemos introducir el Hamiltoniano, que corresponde a la energía total del sistema,

[matemáticas] H = pv-L [/ matemáticas]

Esta definición da directamente la energía relativista como,

[matemáticas] E = pv + mc \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]

Recordar,

[matemáticas] p = \ dfrac {\ parcial L} {\ parcial v} [/ matemática]

[matemáticas] p = \ dfrac {mcv} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] E = \ dfrac {mcv ^ 2} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} + mc \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ dfrac {mcv ^ 2 + mc (c ^ 2-v ^ 2)} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ dfrac {mc ^ 3} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ dfrac {mc ^ 2} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]

Cuadrar ambos lados da,

[matemáticas] E ^ 2 = \ dfrac {m ^ 2c ^ 4} {(1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2})} [/ matemáticas]

[matemáticas] E ^ 2- \ frac {E ^ 2v ^ 2} {c ^ 2} = m ^ 2c ^ 4 [/ matemáticas]

Usando expresiones previas para la energía [matemáticas] E [/ matemáticas] y el momento, [matemáticas] p [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ frac {E ^ 2v ^ 2} {c ^ 2} = \ dfrac {m ^ 2v ^ 2c ^ 4} {(v ^ 2-c ^ 2)} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] p ^ 2 = \ dfrac {m ^ 2v ^ 2} {(1-v ^ 2 / c ^ 2)} [/ matemáticas]

que juntos pueden usarse para simplificar el segundo término,

[matemáticas] \ frac {E ^ 2v ^ 2} {c ^ 2} = \ dfrac {m ^ 2v ^ 2c ^ 2} {(1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2})} [/ matemáticas ]

[matemáticas] = p ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]

El cuadrado de la energía se reduce a,

[matemáticas] E ^ 2-p ^ 2c ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 [/ matemáticas]

Que es solo la energía-momento relativista invariante.

Si todo el álgebra hizo que tus ojos se pusieran vidriosos, no importa. Simplemente hemos utilizado el principio de menor acción para mostrar que la invariante espacio-temporal implica directamente la invariante energía-momento.

Aquí hemos usado la mecánica lagrangiana para mostrar que la famosa ecuación, [matemática] E = mc ^ 2 [/ matemática] es una consecuencia directa de la simetría de Lorentz del espacio-tiempo.

Este segundo ejemplo muestra cómo en muchos casos uno debe buscar el lagrangiano usando diferentes enfoques. Una vez encontrado, desbloquea la física subyacente y proporciona una serie de potentes herramientas teóricas.

Answer 3

Un lagrangiano es un funcional que asigna un número real a una configuración de partículas o campos. El lagrangiano nos permite distinguir el movimiento físico del movimiento no físico. Primero intentaré explicar qué es, y luego por qué es eso.

Comencemos con el movimiento de partículas (un número finito de grados de libertad). El movimiento de una N partículas se describe mediante funciones de tiempo 3N, que dan trayectorias; esas funciones son [matemáticas] x_i (t), y_i (t), z_i (t) [/ matemáticas] con [matemáticas] 1 \ le i \ le N [/ matemáticas]. Estas funciones 3N en cualquier momento t son una configuración, y para todos los tiempos [math] – \ infty historial de configuración .

El lagrangiano asigna un número a cada configuración. La acción , [matemática] S [/ matemática] se forma integrando el Lagrangiano a lo largo del tiempo,
[matemáticas]
S = \ int L \ \ mathrm {d} t
[/matemáticas]
y la acción asigna un número real a cada historial de configuración.

El lagrangiano se construye a partir de las trayectorias y sus velocidades asociadas (que son simplemente derivadas del tiempo de las trayectorias; están involucradas derivadas potencialmente más altas pero que pueden conducir a problemas). Un ejemplo para un lagrangiano es
[matemáticas]
L = \ sum_i \ frac {1} {2} m_i v_i ^ 2 – \ sum_ {i, j} V (\ vec {r} _i, \ vec {r} _j)
[/matemáticas]
para un potencial de interacción por pares V, y [math] \ vec {r} _i [/ ​​math] es la colección de [math] (x_i, y_i, z_i) [/ math].

Para la teoría del campo en lugar de las partículas, tienes un número infinito de grados de libertad; entonces la configuración son los campos [math] \ phi_i (t, x, y, z) [/ math] en algún momento t. Entonces el lagrangiano es una integral sobre el espacio y se construye a partir de los campos y sus derivados (parciales) de espacio y tiempo.

Entonces, ¿por qué el lagrangiano está construido de tal manera? El objetivo es tratar de distinguir entre historiales de configuración física e historiales de configuración no físicos. Para hacerlo matemáticamente se requiere asignar algunos números a cada historial de configuración, y hay algo especial en los números que salen de los historiales de configuración física.

Una manera fácil de ver cómo un lagrangiano distingue las trayectorias físicas y no físicas es mirar hacia atrás a la óptica. El principio de Fermat es una afirmación de que cuando la luz va del punto A al B, de todos los caminos posibles que conectan estos dos puntos, la luz viajará a lo largo del camino con el menor tiempo de viaje (ya que tiene una velocidad diferente en los medios con diferentes índices de refracción). ¿Cómo se convierte eso en números?

Digamos que tomaste una ruta particular [matemática] \ vec {r} (t) [/ matemática] de A a B y pudiste medir el tiempo de viaje con una [matemática] S [\ vec {r}] [/ matemática] funcional . Ahora, ¿qué sucede cuando considera una ruta cercana, [math] \ vec {r} + \ vec {\ delta r} [/ math]? En general, puede aumentar o disminuir el tiempo de viaje. ¡Sin embargo! Si originalmente había elegido la ruta física de tiempo más corto , entonces solo podría aumentar el tiempo de viaje.

Así es como los lagrangianos pueden elegir historias especiales de configuración. Dado cualquier historial de configuración, puede considerar un historial de configuración “cercano”. Para algunas rutas, habrá historias cercanas que aumentan y disminuyen la acción S, y este aumento / disminución (llámelo [matemáticas] \ delta S [/ matemáticas]) es lineal con el tamaño de la desviación lejos de la ruta.

Sin embargo, se dice que algunas historias especiales de configuración son “estacionarias”. Para una ruta estacionaria, [math] \ delta S [/ math] no es lineal con el tamaño de la desviación. Está claro en el ejemplo de la óptica que no puede ser lineal para una trayectoria física, ya que el tiempo de viaje siempre se aleja de ellos; por lo tanto, el tiempo de viaje es mínimo, por lo que la primera derivada del tiempo de viaje debe desaparecer. La estacionariedad es más general que solo estar en un mínimo, puede ser un “punto” mínimo, máximo o de silla de montar, cada vez que la primera derivada de la acción desaparece a medida que varía el historial de configuración.

Por lo tanto, los “puntos” estacionarios de la acción (tiempo integral del Lagrangiano) corresponden a historias de configuración especiales. El objetivo para un físico, entonces, es elegir el lagrangiano que mejor modela la naturaleza, el que selecciona las historias de configuración que describen los movimientos de partículas y campos que realmente observamos en la naturaleza.

Answer 4

Pon una canica en un tazón ancho.

Se asentará hasta el fondo. ¿Por qué? Decimos que la energía potencial de los lados es mayor que la energía potencial en el fondo, y que la canica “quiere” minimizar eso. La canica quiere minimizar algo de lagrangiana que tenga en cuenta el pozo de gravedad.

Cuando decimos “el rayo toma el camino más fácil”

es lo mismo. Tanto el mármol como la electricidad están minimizando algunos lagrangianos. (O al menos así es como hablamos de lo que está haciendo).

Aquí está el lagrangiano para el modelo estándar de física de partículas. (Ver el comentario de Leo C. Stein a continuación)
En esa ecuación, las partículas se forman como un tipo y no como otro porque esa también es la forma “más perezosa” que puede ser.

Realmente es solo un formalismo matemático unir las diversas piezas de la explicación que queremos que sucedan juntas. Una función que alcanza exactamente un mínimo hace exactamente una predicción. O podemos ajustar el campo escalar

para tener en cuenta situaciones en las que el pozo de gravedad / pozo de potencial eléctrico / pozo de campo cuántico es irregular.

Answer 5

¿Los terminos de Layman? Lo tienes. Sin funciones, sin matemáticas. Solo una historia simple, ya que tienden a ser más fáciles de recordar.

Un misterio sin resolver

Supongamos que se despertó esta mañana en una habitación de hotel en Francia, pero no tiene idea de cómo llegó allí. Ves el reloj y son las 10:05 a.m. El dia es jueves.

Lo último que recuerdas fue estar en Nueva York en el lanzamiento de la bola de Nochevieja que fue hace 2 días.

Con estos datos, intentas descubrir el camino más corto que podrías haber tomado para llegar desde Time Square de Nueva York al Hotel Le Bristol, donde actualmente te encuentras.

Uniéndolo

Ese camino más corto posible debe seguir todas las reglas del sistema. Deberá verificar las rutas de vuelo, un mapa de las carreteras de la ciudad hacia el hotel y las posibles consideraciones para los desvíos necesarios (es decir, carreteras de un solo sentido, seguridad del aeropuerto, etc.).

Una función que muestra la ruta más corta que sigue todas las reglas conocidas del sistema se llama lagrangiana .

También puede calcular la menor cantidad de dinero gastado o la menor cantidad de calorías quemadas para su ruta con destino a París. En física, es típicamente la menor cantidad de acción que es el Lagrangiano deseado.

Si esta respuesta le resultó útil, vote por favor. Gracias por leer.

Answer 6

Supongamos que estás jugando con alguien. Lanzas la pelota de un lado a otro, y va en un camino como este:

¿Por qué ese camino en particular?

El lanzamiento tomará, digamos, 1.5 segundos. Durante esos 1.5 segundos, resulta que la pelota quiere maximizar su altura promedio, pero minimizar su velocidad promedio.

Para maximizar la altura, debes subir lo más alto que puedas. Además, cuando estás en el punto más alto, debes ir más lento. De esa forma, se tarda más en los puntos altos y cuentan más en el promedio. A medida que avanza, debe ir más rápido para que cuente menos para su promedio.

Si sube demasiado, eso implica mucha velocidad, y está tratando de minimizar la velocidad. Hay una compensación entre ir más alto, lo que te gusta, y ir más rápido, lo que no. Cuando calcula matemáticamente la mejor solución posible, obtiene la forma de parábola.

La altura aquí significa energía potencial. Maximizarlo es lo mismo que minimizar su valor negativo, por lo que podríamos decir que queremos minimizar la energía cinética (cuadrado de la velocidad) y también minimizar la energía potencial negativa. Por lo tanto, la pelota está minimizando el promedio de la cantidad [energía cinética – energía potencial]. Esa cantidad se llama lagrangiana.

Esto resulta ser una regla general para la física. Cuando llegamos a una nueva situación, como una masa en un resorte, todo lo que tenemos que hacer es cambiar la función de energía potencial. Todavía minimizamos el mismo lagrangiano, y luego obtenemos el movimiento oscilatorio de una masa en un resorte. O cuando hablamos del sistema solar, escribimos la energía potencial para la gravedad y obtenemos las órbitas elípticas de los planetas. (Esta fue una gran parte de la motivación para la técnica lagrangiana).

En situaciones más complicadas como el electromagnetismo, tenemos que cambiar un poco el lagrangiano para que ya no sea solo [energía cinética – energía potencial]. Sin embargo, no hay problema. Todavía hay un lagrangiano que funciona.

Hay una historia realmente intrigante detrás de por qué las cosas deberían minimizar un lagrangiano. Feynman lo cuenta en su libro QED . En mecánica cuántica, la pelota en realidad toma todos los caminos posibles, pero los caminos interfieren entre sí y se cancelan, excepto donde el Lagrangiano está al mínimo. Recomiendo el libro de Feynman o las conferencias en video en las que se basa. http://vega.org.uk/video/subseri …

Nota: Es más exacto decir que el lagrangiano debe estar en un punto estacionario, que puede o no ser un mínimo. Sin embargo, el mínimo está bien para la introducción de un laico.

Answer 7

La palabra lagrangiana puede referirse a una cantidad matemática o una descripción de una forma / método para observar eventos físicos. El método lagrangiano se contrasta normalmente con el método euleriano. Si sigue el movimiento de pocas cosas en movimiento y diseña ecuaciones para describir el movimiento y cómo cambian los otros atributos a lo largo del camino, entonces está utilizando el método lagrangiano. Si te quedas en el suelo y observas estas cosas en movimiento y vuelves a diseñar ecuaciones para describir el movimiento y los cambios en los atributos de los objetos en movimiento, entonces estás utilizando el método Euleriano. Como estar en un avión y poner reglas para su vuelo, o sentarse en la sala de control y observar el mismo avión.

Leí el artículo de Wikipedia Lagrangian y está bien escrito y claro. Sin embargo, el uso necesario de ecuaciones puede hacer que uno pierda el bosque por los árboles, por así decirlo. Así que pensé que podría extraer lo mejor sin las ecuaciones, con la esperanza de que sea más fácil seguirlo como iniciador para una segunda lectura más elaborada. Mecánica lagrangiana – Wikipedia. El lagrangiano como valor se da a continuación;

1-El lagrangiano tiene unidades de energía, pero no existe una sola expresión para él, para todos los sistemas físicos.

2-Cualquier función que genere las ecuaciones de movimiento correctas, de acuerdo con las leyes físicas, puede tomarse como un lagrangiano.

La mecánica 3-Lagrangiana usa las ‘energías’ en el sistema. La cantidad central de la mecánica lagrangiana es la ‘Lagrangiana’, una función que resume la dinámica de todo el sistema.

Las coordenadas 4-Generalizadas para el movimiento se pueden elegir por conveniencia, para explotar las simetrías en el sistema o la geometría de las restricciones, lo que puede simplificar la resolución del movimiento del sistema. La mecánica lagrangiana también revela cantidades conservadas y sus simetrías de forma directa, como un caso especial del teorema de Noether.

La mecánica 5-Lagrangiana es importante no solo por sus amplias aplicaciones, sino también por su papel en el avance de la comprensión profunda de la física.

6-No se introduce nueva física en la mecánica lagrangiana en comparación con la mecánica newtoniana.

Las leyes de 7-Newton pueden incluir fuerzas no conservativas como la fricción; sin embargo, deben incluir fuerzas de restricción explícitamente y se adaptan mejor a las coordenadas cartesianas.

La mecánica 8-Lagrangiana es ideal para sistemas con fuerzas conservadoras y para ‘evitar’ las fuerzas de restricción en cualquier sistema de coordenadas.

9-En la mecánica newtoniana, las ecuaciones de movimiento están dadas por las leyes de Newton. La segunda ley “la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración” se aplica a cada partícula.

10-En lugar de fuerzas, uno mira el ‘camino’ que puede tomar la partícula y elige un conjunto conveniente de coordenadas generalizadas (independientes) que caracterizan completamente el posible movimiento de la partícula.

-Esta elección elimina la necesidad de que la fuerza de restricción entre en el sistema de ecuaciones resultante.

-Hay menos ecuaciones ya que no se calcula directamente la influencia de la restricción sobre la partícula en un momento dado.

11-Las fuerzas disipativas y conducidas pueden explicarse dividiendo las fuerzas externas en una suma de fuerzas potenciales y no potenciales, lo que lleva a un conjunto de ‘ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) modificadas’.

12-Aunque Lagrange solo trató de describir la mecánica clásica en su tratado Mecanique analytique , William Rowan Hamilton desarrolló más tarde el principio de Hamilton que puede usarse para derivar la ecuación de Lagrange y luego se reconoció que es aplicable a gran parte de la física teórica fundamental, particularmente a la cuántica. la mecánica y la teoría de la relatividad

13-El lagrangiano de un sistema dado no es único. Un L de Lagrangian se puede multiplicar por una constante distinta de cero a , se puede agregar una constante arbitraria b, y el nuevo Lagrangian aL + b describirá exactamente el mismo movimiento que L. Un resultado menos obvio es que dos lagrangianos que describen el mismo sistema pueden diferir en la derivada total (no parcial) de alguna función f ( q , t ) con respecto al tiempo.

14-Dado un conjunto de coordenadas generalizadas q , si cambiamos estas variables a un nuevo conjunto de coordenadas generalizadas s de acuerdo con una transformación de punto q = q ( s , t ), la nueva L ‘ Lagrangiana es una función de las nuevas coordenadas, y por la regla de la cadena para la diferenciación parcial, las ecuaciones de Lagrange son invariables bajo esta transformación. Esto puede simplificar las ecuaciones de movimiento.

15-Una propiedad importante del lagrangiano es que las cantidades conservadas se pueden leer fácilmente. Si la L lagrangiana no depende de alguna coordenada qi , este es un caso especial del teorema de Noether. Dichas coordenadas se denominan “cíclicas” o “ignorables”.

16-Si la energía potencial es una función homogénea de las coordenadas e independiente del tiempo, y todos los vectores de posición se escalan por la misma constante no nula a , r k ‘ = a r k , .. y el tiempo se escala por un factor b , t ‘ = bt , entonces las velocidades v k se escalan por un factor de a / b y la energía cinética T por ( a / b ) ^ 2. … Dado que las longitudes y los tiempos se han escalado, las trayectorias de las partículas en el sistema siguen caminos geométricamente similares que difieren en tamaño. La longitud l atravesada en el tiempo t en la trayectoria original corresponde a una nueva longitud l ‘ atravesada en el tiempo t’ en la nueva trayectoria.

Answer 8

Para obtener el lagrangiano, exprese la cinética T y la energía potencial V de una partícula en función de su velocidad y posición. Toma la diferencia. Ese es el lagrangiano, L = TV. La integral de L a lo largo del tiempo se denomina acción S. Se puede calcular para cualquier camino que pueda tomar la partícula, incluido, entre otros, el camino que realmente tomará.

La utilidad de todo esto es que la acción es mínima para el camino real. Las leyes de Newton, por ejemplo, pueden reemplazarse estableciendo el lagrangiano y aplicando el principio de menor acción anterior.

¿Por qué esto es tan? Entre muchas respuestas posibles, el lagrangiano es una aproximación para el tiempo adecuado de una partícula que sigue este camino. En relatividad, las partículas siguen el camino del tiempo extremo (máximo o mínimo). Esto, a su vez, puede explicarse por la integral del camino de Feynman. Ver el libro de Feynman “QED”

Del mismo modo, se pueden encontrar lagrangianos para la electrodinámica o las ecuaciones de Schrödinger y Dirac. De hecho, todo el modelo estándar de la física de partículas puede expresarse mediante la colección de lagrangianos y el principio de mínima acción.

Answer 9

Si entras en la mecánica clásica, o incluso miras el artículo de Wikipedia, Lagrangian, parece matemático y menos intuitivo.

Básicamente, las ecuaciones lagrangianas son representaciones de cualquier mecánica, ya sea newtoniana, relativista o QM, en la forma en que las relaciones de cómo llegar a un momento particular observable como el momento a lo largo de una coordenada particular del lagrangiano es independiente del sistema de coordenadas. Entonces, Lagrangian es una abstracción matemática, o si te gusta escribir código, es como un objeto del que todo se puede derivar de una operación.

Ahora también funciona si convierte las ecuaciones diferenciales en integrales y luego aterriza en esta cosa muy popularizada de minimización de la acción, donde la minimización de la acción hace que uno se convierta en la ecuación lagrangiana, que muchas personas consideran intuitiva, pero creo que algunos piensan que son 2 lados de la misma moneda. Lamento que la pregunta pregunte cómo es intuitiva y es posible que no le haya hecho justicia, pero siempre lo creo en lagrangiano como hermosos trucos matemáticos para describir la naturaleza en una abstracción que se ajusta a la mayoría de las teorías, por lo que su teoría construye el lagrangiano objeto para usted y obtiene todas las propiedades de sus métodos.
Gracias por el A2A.

Answer 10

Existe la función lagrangiana (L), y la integral lagrangiana, que se encuentra al integrar la función L sobre algún camino. Cualquiera de los dos podría llamarse libremente “El lagrangiano”.

En el caso simple, L es una función de velocidad y posición. Suponga que solo hay una partícula (u objeto o campo). Podría haber múltiples objetos, cada uno con sus velocidades y posiciones; y más variables, como el tiempo y la segunda derivada. Ignora esos.

La función indica cuánta “Acción” hay en el punto X, a la velocidad V. La integral da la Acción total sobre el camino. En lugar de profundizar en la física, vayamos directamente a la explicación del laico.

La acción puede considerarse análoga a la gasolina en un automóvil. Si un automóvil va a la velocidad V en un punto X, requiere una cierta cantidad de gasolina. Omitir detalles, depende del cuadrado de V y del grado (inclinación) de la carretera en X. Por lo tanto, si desea ir rápido cuesta arriba, debe presionar el acelerador hacia el piso, usando mucha gasolina por segundo. (El gas por segundo es análogo a la Energía). Si baja cuesta abajo lentamente, es posible que no necesite ningún gas. De hecho, es posible que aumente la velocidad (algo así como la energía potencial) que lo llevará a la siguiente colina de forma gratuita. Básicamente, cuanto más rápido sea el V y más empinada la carretera en el punto X, más gasolina necesitará. La función L dice cuánto.

Si conduce desde el punto A al punto B, usará una cierta cantidad de gasolina. Esa es la integral L: la función L (gas en cada instante) integrada en la ruta del viaje.

Supongamos que hay muchas maneras diferentes de llegar del punto A al punto B. Por lo general, queremos llegar lo más rápido posible. A veces queremos minimizar la distancia recorrida. Pero con bastante frecuencia, si tenemos pocos fondos, queremos minimizar el consumo de gas. En ese caso, ¿cómo encuentras la mejor ruta? Bueno, podrías conducirlos a todos, observando la cantidad de gasolina que toma cada ruta, ¡pero eso es extremadamente derrochador! En cambio, suponiendo que conozcamos la función L y sepamos hacer los cálculos, podemos integrar la función L para encontrar la integral L (gas consumido) para cada ruta. Luego seleccione el que minimiza esa integral.

Resulta que eso es lo que hace la naturaleza. Utiliza la cantidad mínima de gas (Acción).

¡Eso es todo al respecto!

En realidad no 🙂 Pero es la idea básica. De muchos detalles que podrían mencionarse, es importante tener en cuenta que el viaje desde el punto A al punto B generalmente debe especificar un tiempo transcurrido. IOW queremos llegar de A (digamos, Chicago) a B (digamos, Los Angeles), en exactamente un tiempo (digamos, 24 horas). Ni mas ni menos. Tiene sentido si lo piensas. El consumo de gas es menor, cuanto más lento vaya. Entonces, si ignoramos el tiempo transcurrido, la respuesta siempre sería: ir muy, muy lento. Así no funciona el mundo.

Si piensa detenidamente en mi analogía simple, notará otras características cuestionables. Por lo tanto, ¡no pienses demasiado en ello! De hecho, transmite la idea básica de qué es un lagrangiano y para qué sirve.

Answer 11

Siempre quise entender qué es realmente un lagrangiano y solo puedo entender cosas simples, así que un día encontré esta idea:

El lagrangiano es la propensión de la energía potencial a transformarse en energía cinética.

Entonces, ¿por qué la propensión?

Porque esto es lo que le puede pasar a la energía potencial.

El propósito de una energía potencial es convertirse en una energía real:

Esto significa transformarse en energía cinética, esto no tiene nada que ver con un principio de conservación de energía que se pueda demostrar de forma independiente como resultado de un principio de invariancia en el tiempo (Teoremas de Noether)

El punto es que las ecuaciones dinámicas de movimiento es precisamente el hecho de que esta propensión tiene que ser estacionaria con respecto a los pequeños cambios de los movimientos, conduciendo directamente a la hermosa teoría de las formas simplécticas. Cuando la propensión es extrema, se llama acción:

La acción es la propensión sumada a lo largo del tiempo. La estacionariedad es una especie de econometría de propensión; se gasta todo el movimiento del sistema de una manera muy parsimoniosa.

De hecho, la grandeza de la idea es exactamente lo contrario: un movimiento debe provenir de tal propensión, quiero decir que muchos sistemas dinámicos tienen una propensión asociada: la mecánica habitual tiene una, la óptica también tiene una, la física de alta energía es una especie de “Lego” de tales bloques de propensión. La partícula de Higgs tiene la suya. Pero debido a que es un tipo de econometría, también almacena propensión en las relaciones entre sistemas. Esto muestra la profunda integración de todo el universo.

En física teórica, esta es la herramienta principal para introducir la dinámica.

Puede que no sea la única forma, pero parece ser la única forma práctica conocida. muy ubicuo

Answer 12

Todos hemos visto experimentos de física en los que una pelota en una mesa de billar o un disco en una mesa de hockey de aire choca con otra pelota o disco o con la pared.

Las leyes de Newton se utilizan para describir el movimiento de tales objetos, y podemos predecir con precisión dónde van y cómo se intercambian el impulso y la energía cinética de un objeto a otro. La cinemática de tales experimentos implica hacer un seguimiento del vector de posición de cada objeto, y el vector de velocidad de cada objeto, como funciones del tiempo.

Cuando este método se aplica a una partícula, lo llamamos la descripción lagrangiana.

El análisis lagrangiano es análogo al análisis del sistema que aprendió en su clase de termodinámica; a saber, seguimos una masa de identidad fija ¡Como puede imaginar, este método de describir el movimiento es mucho más difícil para los fluidos que para las bolas de billar!

En el enfoque lagrangiano, arroja una sonda que se mueve río abajo con el

agua. En el enfoque euleriano, ancla la sonda en un lugar fijo en el agua.

Answer 13

Para las partículas que se mueven de forma independiente y libre solo a fuerzas específicas, el movimiento de cada partícula obedece la ley de Newton F = ma, que puede escribirse en términos de coordenadas cartesianas en la forma x ” = (1 / m) dV / dx donde V es la energía potencial (y la forma es la misma para todos los componentes).

Para las partículas restringidas a ser partes de un cuerpo rígido, podríamos preferir usar variables más naturales como la orientación angular del cuerpo, pero luego las ecuaciones se vuelven más complicadas (por ejemplo, con la entrada de “fuerzas” centrípetas y coriolis, por lo que la ecuación para el El componente r no es solo
r ” = (1 / m) dV / dr). Y a menudo no es fácil calcular la traducción de la ecuación de Newton en las nuevas coordenadas.

El enfoque lagrangiano reescribe las ecuaciones de movimiento en una forma equivalente que tiene la misma estructura en todos los sistemas de coordenadas, que resulta ser dada para cada componente q por d / dt (dL / dq ‘) – dL / dq = 0 con L = TV donde V es nuevamente la energía potencial y T la energía cinética (que en coordenadas cartesianas sería (m (x ‘) ^ 2) / 2). Esto proporciona una forma sistemática de obtener las ecuaciones apropiadas en lugar de tener que resolverlas en términos de las coordenadas deseadas mediante un complicado proceso de conversión de la forma newtoniana.

Resulta que las ecuaciones lagrangianas también son equivalentes a un principio variacional (como lo mencionaron otros respondedores), es decir, que la trayectoria real sea un punto estacionario (por ejemplo, min o max) de la integral de ruta de la función L. de Lagrang.

Answer 14

Es una estación de tren para las órbitas.

En otras palabras, es el punto donde puede cambiar del cuerpo en órbita A al cuerpo en órbita B con la menor cantidad de cambio en la velocidad (también conocido como delta-vee), como saltar de un tren a otro.

Escojamos la Tierra y la Luna. Podrías orbitar la luna a cualquier distancia (ignorando la Tierra), y podrías orbitar la Tierra a cualquier distancia (ignorando la luna, otros planetas y el sol).

Pero, solo hay un par de órbitas donde viaja a la misma velocidad, y las órbitas solo se tocan entre sí en un solo punto. El problema de que la velocidad sea la misma es crucial, porque queremos evitar tener que cambiar nuestra velocidad tanto como podamos. Entonces, en el punto donde se tocan estas órbitas, puede saltar de una órbita a otra (por ejemplo, saltar de una órbita terrestre a una órbita lunar) sin cambiar su velocidad.

Ese es el lagrangiano.

Answer 15

En pocas palabras, el Lagrangiano es la máxima energía posible que un sistema puede mantener si el sistema es inherentemente perezoso y quiere minimizar el gasto de energía al mismo tiempo que maximiza la eficiencia. Es una extensión del sistema de la regla de menor acción, que establece que todos los sistemas dinámicos buscan acción en el camino de menor resistencia.

Answer 16

El camino seguido por una partícula es el que minimiza una cantidad llamada lagrangiana, con el tiempo. La integral del lagrangiano es la acción. Después de muchas pruebas y errores, los físicos descubrieron que la expresión correcta para el lagrangiano (para una partícula) era energía cinética menos energía potencial L = T – V.

Answer 17

Es solo una generalización de la mecánica newtoniana que tiende a usar coordenadas polares.

En la forma utilizada en la mecánica cuántica, es una función estadística en torno a un punto que realmente no tiene relación con lo que realmente sucede físicamente. Pero sí, es matemática de primera clase.