¿Es el teorema de los números primos [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {\ pi (x) log (x)} {x} = 1 [/ matemáticas] la conjetura más profunda en la teoría de números?

Answer 1

El Teorema del número primo ha sido una conjetura desde alrededor de 1793, y dejó de ser una conjetura cuando fue probado en 1896 por Hadamard y de la Vallée-Poussin (de forma independiente). Se llama “Teorema” porque se sabe que es verdad, por lo que ya no es una conjetura.

El PNT no es de ninguna manera obvio o fácil, pero en términos modernos su prueba se considera básica. Definitivamente no es el resultado más profundo en teoría de números; ni siquiera es el resultado más profundo en la teoría analítica de números, y de hecho no es el resultado más profundo sobre la distribución de números primos. (Esto es un poco como cuando le preguntaron a John Lennon si Ringo Starr era el mejor baterista del mundo, y se dice que respondió que ni siquiera es el mejor baterista de The Beatles).

La hipótesis de Riemann generalizada, que implica muchos resultados en la teoría de números, incluida una versión más fuerte del PNT, se considera muy profunda y sigue siendo una conjetura, por lo que quizás esto es lo que quería preguntar.

En cualquier caso, “más profundo” no es un adjetivo particularmente significativo para teoremas o conjeturas. Hay muchos teoremas tremendamente difíciles en la teoría de números y conjeturas de muy largo alcance. Ninguno de ellos es “el más profundo”, aunque algunos son claramente más profundos que otros.