Teoría de la música: ¿Cuál es la relación matemática entre el círculo de quintas y el círculo de medios pasos?

Answer 1

Las notas musicales (en la escala cromática) pueden considerarse como un torsor para el grupo de enteros módulo 12. Un “medio paso” consta de 1 semitono, mientras que un “quinto perfecto” consta de 7 semitonos. La observación aquí es básicamente que 7 medios pasos comprenden un quinto perfecto y, simultáneamente, 7 quintos perfectos comprenden un medio paso (módulo de octavas), porque [matemática] 7 ^ 2 = 1 [/ matemática] módulo 12.

Puede hacer algo similar siempre que tenga dos enteros, [matemáticas] s [/ matemáticas] y [matemáticas] t [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] s ^ 2 – 1 [/ matemáticas] sea un múltiplo de [matemáticas] t [/ matemáticas]. Tomar pasos de tamaño [math] s [/ math] alrededor de un círculo con [math] t [/ math] muchos nodos le da un orden diferente en el que colocar esos nodos en un círculo; tomar medidas de tamaño [math] s [/ math] nuevamente lo devuelve al orden original. No conozco un buen término para ello, pero esta es la idea.

Answer 2

Podemos reorganizar fácilmente los nodos / vértices sin volver a etiquetarlos. Tenga en cuenta, por ejemplo, que las notas G y C # están conectadas por bordes a las mismas cuatro notas: C, D, F # y G #. Esto significa que podemos intercambiar estos dos nodos sin cambiar la forma del gráfico o cualquier otro nodo. (Cuando digo intercambiar, piense en tirar de un nodo a través del círculo hacia el otro nodo, y luego jalar el segundo nodo hacia atrás).

Esto también funciona para A y D # así como para B y F. Si intercambiamos los tres pares, pasamos de un gráfico a otro. Estos son en realidad el mismo gráfico , solo se muestran de manera diferente.

También podríamos simplemente volver a etiquetar el gráfico, utilizando los números del módulo 12. Un isomorfismo de un gráfico a otro es [math] \ varphi (x) = 7x [/ math], por lo que C se asigna a sí mismo, C # va a G (y viceversa), y así sucesivamente. Esto nos permite volver a etiquetar los nodos del gráfico; sin embargo, carece de la elegancia de nuestra solución de teoría de gráficos, ya que no considera los vecinos comunes de cada punto.

Answer 3

El círculo de medios pasos es simplemente todas las notas en orden de menor a mayor (AA # BCC # DD # EFGG #) Sin embargo, las notas que están una al lado de la otra suenan mal juntas porque no tienen una relación armónica. Su relación matemática es 2 ^ (1/12): 1. Este es el medio paso o semitono.

Las notas separadas por una octava tienen una relación de frecuencia de 2: 1 y, por lo tanto, suenan bien juntas. Por lo tanto, las notas de frecuencia 55,110,220,440,880Hz son todas A en octavas diferentes.

Notas un quinto aparte (es decir, 7 semitonos) suenan bien juntos porque tienen una relación armónica de aproximadamente 1.5: 1. Si fuera exactamente 1.5: 1, entonces doce quintos serían 1.5 ^ 12: 1 o 129.746: 1, que es un poco más grande que siete octavas, que es 2 ^ 7: 1 o 128: 1 Por lo tanto, el quinto se reduce a 7 semitonos , o 2 ^ (7/12): 1 que está extremadamente cerca. La cifra real es 1.498: 1.

Si toca la F más baja en un piano, entonces cuente hasta 7 notas (incluidas todas las notas en blanco y negro) para llegar a C, que por las razones mencionadas anteriormente suena bien con F. Si continuamos este proceso, pasamos por todos los notas blancas, luego todas las notas negras y finalmente terminan en F de la siguiente manera:

FCGDAEBF # C # G # D # A # F

Este es el significado del dibujo ‘quintos en el círculo de medios pasos’. Puede ver los medios pasos alrededor del borde (subiendo en secuencia AA # BC, etc.) y las líneas que pasan por el medio (cuente 7 hacia adelante o alternativamente 5 hacia atrás).

El otro dibujo muestra los quintos alrededor del borde en el orden presentado anteriormente (FCG, etc.), por lo que es solo una reorganización del anterior. En este dibujo, debe contar 7 hacia adelante o 5 hacia atrás para encontrar la siguiente nota en el orden normal (AA # BC, etc.)

Nunca uso este segundo dibujo. Prefiero poner los quintos en zigzag de la siguiente manera:

Gb
Db
Ab
Eb
Cama y desayuno
F
C
sol
re
UNA
mi
si
F#
C#
SOL#
RE#
UNA#

La razón es que este zigzag me dice a simple vista qué siete de las doce notas posibles (AA # BCC # DD # EFGG #) pertenecen a alguna tecla en particular.

También me dice el nombre correcto de la nota para esa clave. Por ejemplo, A # solo se conoce como A # en la tecla de B, ya que esta tecla no contiene A. Las otras teclas que necesitan esta nota contienen A o Ab pero no B, por lo que la misma nota A # se llama Bb para que cada una de las siete Las notas tendrán una letra única.

Por ejemplo:

La clave de C contiene las notas CDE y FGAB
La clave de Eb contiene las notas Eb FG y Ab Bb CD
La clave de E contiene las notas EF # G # y ABC # D #

Como puede ver, las siete notas de cualquier tecla en particular están relacionadas por quintos, por lo que suenan bien juntos. Otra razón es la afortunada coincidencia de que cuatro quintos (28 semitonos) es de aproximadamente 5.04: 1, que está cerca de 5: 1.

El acorde mayor tiene notas en la relación de frecuencia 4: 5: 6 y el acorde menor las tiene en la relación 1/6: 1/5: 1/4.

Answer 4

El círculo de quintas y el círculo de medios pasos son los mismos reorganizados.
Cada nota musical tiene lo que llamamos una “serie armónica” en la que una cuerda o columna de aire vibrante produce un sonido fundamental y otras frecuencias por encima de sí mismo en función de las divisiones de la cuerda o columna. Cuando C vibra, crea una G por encima de sí mismo. Los puntos de nodo para G se pueden encontrar dividiendo la cadena en tres partes.

C crea G, G crea D, D crea A y así sucesivamente. Siga la cadena y finalmente volveremos a C. (B # es el equivalente enarmónico de C). Reorganice la cadena de doce quintos en orden y obtenemos el círculo de medios pasos.
Cabe señalar que utilizamos la afinación templada igual para alterar los quintos para que podamos jugar en las doce teclas. Los armónicos naturales requerirían una afinación para cambiar las claves.