Como se menciona en los comentarios, los detalles del problema (todavía) no son muy claros, pero entiendo la idea general. Interpretaré la pregunta en la forma que considero más útil: ¿Una caminata aleatoria desde el origen [matemática] O [/ matemática] alcanzará un punto específico [matemática] P [/ matemática] antes de que llegue a otra caminata aleatoria comenzando desde el punto [matemáticas] P [/ matemáticas]?
Una caminata aleatoria es una simple realización de un proceso estocástico. Comienzas en algún momento, y para cada paso de tiempo, hay un 50% de posibilidades de dar un paso hacia atrás o hacia adelante. La superficie de la Tierra y todas las superficies en las que dibujamos son bidimensionales, por lo que la caminata aleatoria bidimensional es la más popular para representar:
La dimensionalidad del problema en realidad no lo hace mucho más complicado, ya que los movimientos horizontales y verticales son independientes y pueden analizarse por separado. Por lo tanto, comenzaré en 1D. Para las dos posibilidades planteadas en mi versión de la pregunta, la evolución de los caminos se verá así:
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En este ejemplo específico, gana la alternativa con dos caminantes. Puede hacer fácilmente un programa de computadora para simular 10 000 rutas aleatorias para una distancia específica entre [matemática] O [/ matemática] y [matemática] P [/ matemática] y calcular el número promedio de pasos necesarios para que las gráficas se encuentren en cada caso, teniendo en cuenta que la distancia debe ser un número par (¿puedes ver por qué?). ¡Pero tampoco es demasiado difícil con las matemáticas puras!
En el primer caso, la distancia entre los gráficos [matemática] D_1 [/ matemática] es la suma de todos los pasos [matemática] a_i = \ pm 1 [/ matemática] más (o menos) la distancia inicial [matemática] d [ /matemáticas]:
[matemáticas] D_1 = \ sum_i a_i + d [/ matemáticas],
Donde [math] i = 1,2,3, \ ldots [/ math] denota el número de paso. En el segundo caso, también tenemos que incluir los pasos del segundo caminante, [math] b_i [/ math]. Nuevamente, dado que la caminata aleatoria es simétrica (es probable que sea [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] +1 [/ matemática]), no importa si sumamos o restamos. Agreguemos:
[matemáticas] D_2 = \ sum_i a_i + \ sum_i b_i + d [/ matemáticas].
Aquí, [math] D_1 [/ math] y [math] D_2 [/ math] se toman en algunas posiciones arbitrarias a lo largo de las curvas. Lo que queremos saber es: ¿Cuál de [matemática] D_1 [/ matemática] o [matemática] D_2 [/ matemática] es más probable que alcance el valor [matemática] 0 [/ matemática] primero? Para obtener las distribuciones completas de las distancias después de un cierto número de pasos de tiempo, sería necesario convolucionar las distribuciones [math] \ pm 1 [/ math] para todas las [math] a_i [/ math] sy [math] b_i [/ math] s encontrando la función Característica. Afortunadamente, no necesitamos hacer eso aquí, un análisis de probabilidad es suficiente.
Podemos comenzar por darnos cuenta de que la distancia entre los caminantes cambiará con [math] \ pm 1 [/ math] cada paso en el primer caso, y con [math] -2,0 [/ math] o [math] +2 [/ math] en el segundo caso (con [math] 0 [/ math] que tiene el doble de probabilidad de [math] \ pm 2 [/ math]). ¡Esto significa que para cada paso, los cambios en [math] D_2 [/ math] tienen la misma distribución de probabilidad que los cambios en [math] D_1 [/ math] para dos pasos! Ambas distancias pueden ser más largas o más cortas con el tiempo, pero [math] D_2 [/ math] siempre cambiará la más rápida. En promedio, dos caminantes se encontrarán más rápido de lo que un caminante encuentra un punto fijo. Tiene sentido, ya que se atraviesa más espacio de posición cuando viajan dos caminantes.
Algunas notas:
- La diferencia entre los tiempos de intersección no será un factor de 2. Las caminatas aleatorias y los procesos de Wiener tienen una escala que hace que la distancia promedio recorrida sea proporcional a la raíz cuadrada del número de pasos. Entonces [math] \ sqrt {2} [/ math] es el número que está buscando.
- Como se mencionó, el análisis es transferible a 2D, y se debe aplicar el mismo resultado.
- En la vida real, si dos personas se buscan, no caminarán al azar, sino que seguirán un camino sistemático y no mirarán en el mismo lugar dos veces. Aún así, sospecho que se aplica la misma conclusión.
- Creo que esto debería responder a la pregunta, aunque la cuestión del “camino decidido” no está clara. Si el “camino” es solo una función constante, mi análisis funciona. Si elige algo como [matemática] y = t ^ 2 [/ matemática], esta ruta se aleja de la aleatoria, y no hay forma de ponerse al día. Pero, en general, si el “camino decidido” está acotado, golpeará el aleatorio más rápidamente cuanto más oscile.