¿Cuáles son las diferencias entre el haz tangente y el haz de fibras?

Answer 1

El paquete tangente es un paquete de fibras específico (y muy importante). Un paquete de fibra [matemática] E [/ matemática] será la colección de algún espacio [matemático] V [/ matemático] definido en cada punto del múltiple [matemático] M [/ matemático]. Hay algunos requisitos técnicos. Primero, necesita una proyección [matemática] \ pi: E \ a M [/ matemática] desde cualquier parte del haz de fibras hacia abajo en el colector base (siga la fibra hacia abajo). En segundo lugar, debe poder “acercar” lo suficiente para que el espacio parezca ser solo el producto cartesiano [matemático] M \ veces V [/ matemático]. Por ejemplo, si el espacio base era [math] \ mathbb {R} [/ math] y el espacio de fibra también lo era, cada punto en el espacio sería localmente homeomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemáticas]. Sin embargo, a nivel mundial, las fibras podrían tener una topología más complicada. Aparte de esto, no hay restricciones en este espacio [matemáticas] V [/ matemáticas]. El paquete tangente es donde lo tomas como el conjunto de vectores tangentes en cada punto. Esto le da mucho significado geométrico, ya que se trata de la variedad subyacente.

Answer 2

Un paquete de fibra es un múltiple con una copia de un espacio especial (llamado fibra) unido a cada punto. La fibra puede ser más o menos cualquier cosa, aunque existen algunas condiciones técnicas. El haz tangente de un colector n-dimensional es un haz de fibras donde la fibra es un espacio vectorial n-dimensional (es decir, el espacio tangente a la superficie en un punto).

Los paquetes se pueden ver como objetos compuestos (una superficie base con espacios unidos en cada punto) o como objetos individuales en sí mismos. Por ejemplo, el haz tangente de un círculo es topológicamente un cilindro, como lo ilustra este diagrama:

http://q.miximages.com/61500/ Geometría diferencial / 400px-Tangent_bundle.svg.png

Tenga en cuenta que la noción de una conexión se generaliza también a los paquetes de fibra. Para el paquete tangente, una conexión proporciona una noción de transporte paralelo (es decir, conecta vectores tangentes en un espacio tangente a vectores tangentes en espacios tangentes cercanos). Para un conjunto general de fibras, le indica cómo conectar puntos en fibras cercanas de forma “horizontal” o “paralela”.