¿Cuál es la relación entre números irracionales y triángulos rectángulos?

Answer 1

La relación es histórica, más que matemática. Los triángulos rectángulos nos ayudaron a darnos cuenta de que deberíamos pensar en números irracionales.

Al principio, asumimos que todos los números eran racionales. Enfrentado a una nueva cantidad, solo era cuestión de encontrar el denominador correcto para expresarlo.

Pero los triángulos rectángulos dieron los primeros ejemplos de longitudes (o más adecuadamente, proporciones) que posiblemente no podrían ser racionales. El ejemplo más simple es, por supuesto, [math] \ sqrt {2} [/ math], en su apariencia como la razón de la diagonal de un cuadrado a la longitud del lado. Tales proporciones son claramente números de algún tipo, pero no pueden ser racionales.

Realmente no hay nada especial sobre esta fuente particular de ejemplos de números irracionales. Hay muchos otros Pero fue un primer contraejemplo muy natural para la creencia de que todos los números eran racionales. Y no es un contraejemplo que se pueda descartar fácilmente como parte de una fantasía separada: ¡casi cualquier persona que cree en los números cree en figuras geométricas tan simples como cuadrados! Esto está en marcado contraste con los números imaginarios, o incluso los números negativos, que de hecho no fueron aceptados hasta miles de años después.

No sé mucho sobre los detalles históricos reales (por ejemplo, si hay verdad en la historia popular de que el miembro de los pitagóricos que primero demostró que las raíces cuadradas podrían ser irracionales fue castigado con la muerte), pero tal vez alguien más pueda iluminarnos al respecto aquí.

Answer 2

Cualquier racional tiene un cuadrado que, en términos más bajos, tiene cuadrados perfectos para numerador y denominador. En consecuencia, la raíz cuadrada de cualquier racional que, en términos más bajos, tenga un numerador o denominador que no sea un cuadrado perfecto será irracional.

Las longitudes laterales de los triángulos rectángulos están relacionadas por el teorema de Pitágoras (es decir, la suma de las longitudes al cuadrado de las dos patas será igual a la longitud al cuadrado de la hipotenusa). Por lo tanto, al calcular una longitud lateral de las otras, aparecerán raíces cuadradas.

Ahora, aunque es posible crear un triángulo rectángulo cuyas relaciones de longitud de lado son todas racionales (estas corresponden a soluciones enteras para [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]; por ejemplo, [matemáticas ] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemáticas]), es aún más común encontrar triángulos rectángulos en los que una relación de longitud lateral termina siendo irracional debido a los hechos mencionados anteriormente. En particular, si las dos patas tienen la misma longitud, entonces la hipotenusa es [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] veces más larga que ellas, lo cual es una relación irracional.

Answer 3

Puede tomar los triángulos rectángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90, por ejemplo. En el primero, las patas son congruentes, y la hipotenusa es igual a la longitud de la pata multiplicada por la raíz 2; en el triángulo 30-60-90, la pata más corta (opuesta al ángulo de 30 grados) por la raíz 3 es la pata más larga (opuesta a 60 grados). La hipotenusa es el doble de la pierna más corta.

Como puede ver, la raíz 2 y la raíz 3 se usan, y ambas son irracionales. Además, para muchos triángulos rectángulos, la longitud de la hipotenusa es generalmente la raíz cuadrada de los cuadrados no perfectos. Por ejemplo, si dos patas tienen 24 y 13 de longitud, entonces la hipotenusa es la raíz 745. 745 no es un cuadrado perfecto, por lo que la hipotenusa del triángulo es irracional.
Tenga en cuenta que la raíz 745 no se puede simplificar.

¡¡Espero que esto ayude!!