¿Por qué una cadena colgante forma una catenaria en lugar de una parábola?

Answer 1

Si está buscando una explicación más intuitiva (para contrarrestar la intuición de que “debería ser una parábola, ¿no?”), La diferencia clave es la fuerza hacia abajo que actúa sobre la cadena suspendida.

Si la cadena no lleva más que su propio peso, la forma resultante es una “catenaria”.

Si la cadena es como un cable suspendido que lleva una plataforma debajo de ella, y su propio peso no es nada comparado con el de la plataforma, la forma resultante es una “parábola”.

El siguiente diagrama de fuerza muestra una fuerza hacia abajo que es el peso de la sección de la cadena: puramente una función de su propia densidad de masa multiplicada por su longitud s . Esto da como resultado la forma catenaria.

Si, en cambio, la fuerza descendente fuera puramente una función de la densidad de masa de la plataforma horizontal, multiplicada por la longitud horizontal x , el resultado sería una parábola.

(Fuente: Wikipedia: Archivo: CatenaryForceDiagram.svg)

Puede observar la comparación de las curvas “catenaria” versus “parábola” a continuación para obtener una intuición de la diferencia en las distribuciones de fuerza discutidas anteriormente. La catenaria cuelga bajo su propio peso, mientras que la parábola lleva el peso de una cubierta horizontal debajo.

(Fuente: IntMath: ¿el Gateway Arch es una parábola?)

Answer 2

Las derivaciones de los libros de texto ya están aquí, así que déjame responder la pregunta desde un ángulo diferente.

¿Por qué una cadena colgante para una “forma catenaria”? Porque catenaria , del latín catena (“cadena”) significa literalmente “la forma de una cadena que cuelga bajo su propio peso”.

En cuanto a por qué no forma una parábola, bueno, ¿por qué esperarías que forme una parábola? Una parábola es una sección cónica. Estos surgen en la física como una posible trayectoria de una partícula en un campo gravitacional (aunque inestables, forman un límite único de probabilidad cero entre las órbitas elípticas y las parábolas). También se producen cuando se considera el movimiento de proyectiles en un campo gravitacional uniforme. Ninguno de estos es pertinente aquí, porque los eslabones de la cadena no vuelan por el aire, sino que cuelgan en su lugar.

Ahora, resulta que, bajo ciertas idealizaciones de una cadena o cuerda colgante, puede resolver la ecuación relevante y ver que la catenaria se aproxima por la función del coseno hiperbólico. Por supuesto, si cambia ligeramente estos supuestos, obtendrá una función con un gráfico similar pero que no es la función de coseno hiperbólico.

Lo cual es una forma indirecta de decir que, en física, las soluciones exactas a las ecuaciones diferenciales, como la que modela una catenaria como el gráfico de la función del coseno hiperbólico, son una buena conveniencia más que algo de significado físico fundamental.

Answer 3

Si tiene un cable liviano que soporta el peso de una losa pesada debajo, como con un puente colgante, en realidad obtendrá una parábola. Solo cuando el trabajo del cable es soportar su propio peso, obtenemos una función cosh. ¿Cual es la diferencia?

Matemáticamente, la diferencia es que las parábolas resuelven

[matemáticas] f ” (x) = c [/ matemáticas]

mientras cosh resuelve

[matemáticas] f ” (x) ^ 2 = c (1 + f ‘(x) ^ 2) [/ matemáticas]

(Puede usar la identidad [math] \ cosh ^ 2 x – \ sinh ^ 2 x = 1 [/ math] para mostrar que esto es así).

Alguna física: el componente horizontal de la tensión en la cadena tiene que ser constante. No hay fuerzas externas en la cadena en la dirección horizontal, por lo que si el componente horizontal de la tensión cambiara en alguna parte, habría una fuerza neta en esa parte de la cadena y se aceleraría.

El componente vertical de la tensión tiene que cambiar, ya que queremos la fuerza neta de la tensión para cancelar la fuerza de la gravedad. Debido a que el componente vertical de la tensión proviene de [matemática] f ‘(x) [/ matemática], el cambio en ella es [matemática] f’ ‘(x) [/ matemática], familiar a partir de las ecuaciones anteriores. Ese cambio en la pendiente nos da la fuerza vertical.

Para el cable que soporta un puente, cada pie de ese cable debe tener la misma fuerza vertical por la tensión. Por lo tanto, [math] f ” (x) [/ math] debe ser constante. Eso da

[matemáticas] f ” (x) = c [/ matemáticas]

y tenemos una parábola Resuelto!

Para el cable que soporta su propio peso, necesitamos usar el teorema de Pitágoras para calcular cuánto pesa un pie horizontal del cable. La parte horizontal es [matemática] 1 [/ matemática] pie, y la parte vertical es [matemática] f ‘(x) [/ matemática] veces un pie. Poniendo eso juntos obtenemos

[matemáticas] f ” (x) ^ 2 = c (1 + f ‘(x) ^ 2) [/ matemáticas]

Esa es la ecuación para cosh. ¡Hecho!

Para resumir, la cadena colgante adopta una forma exponencial y acogedora porque su pendiente determina su peso, y la velocidad de cambio de la pendiente determina la fuerza de tensión. La fuerza de tensión y el peso deben cancelarse, por lo que la tasa de cambio de la pendiente depende de la pendiente misma. Ese es el sello distintivo de una función exponencial.

Un lugar divertido para ir desde aquí es encontrar la forma de un cuenco colgante. Descubrirá que a medida que aumenta la pendiente del slinky, hay dos factores en juego que determinan cuánto pesa un pie horizontal dado. Primero, es más largo si la pendiente es más alta, al igual que la cadena. En segundo lugar, está bajo más tensión y, por lo tanto, se estira más, disminuyendo la densidad. Estos dos factores se cancelan exactamente, de modo que el peso de un pie horizontal de un resbaladizo colgante es constante. El colgante furtivo es una parábola de nuevo.

Otra buena forma de resolver este problema es a través de la minimización de energía. Para hacerlo, deberá comprender la ecuación de Euler-Lagrange y el multiplicador de Lagrange.

Answer 4

Déjame buscarte eso en Wikipedia.

Advertencia: te esperan cálculos y triglicéridos hiperbólicos inversos.