¿Cómo puedo representar vectores de movimiento en la superficie de una esfera y sumarlos?

Answer 1

El movimiento de los puntos en la superficie de una esfera es análogo al movimiento angular en el espacio 3D alrededor del origen. Un movimiento angular puede ser representado por la velocidad angular, que es un vector 3D. Si la dirección del movimiento es perpendicular al desplazamiento del punto desde el origen (que siempre es el caso si el punto se mueve a lo largo de la superficie de una esfera), la velocidad angular tiene la fórmula

[matemáticas] \ vec {\ omega} = \ frac {d \ phi} {dt} \ vec {u} = \ frac {v} {r} \ vec {u} [/ matemáticas]

donde [math] \ frac {d \ phi} {dt} [/ math] es la velocidad angular (la velocidad en radianes el punto gira), [math] \ vec {u} [/ math] es el eje de rotación (usando la regla de la mano derecha, normalizada a la longitud de la unidad). También se puede expresar en su velocidad de movimiento en la superficie de la esfera [matemática] v [/ matemática] y el radio de la esfera [matemática] r [/ matemática].

Cuando un punto sufre dos movimientos angulares [math] \ vec {\ omega} _1, \ vec {\ omega} _2 [/ math] (o el punto está girando en [math] \ vec {\ omega} _1 [/ math] en relación con la esfera, y la esfera está rotando en [math] \ vec {\ omega} _2 [/ math]), la velocidad angular resultante simplemente se suma a [math] \ vec {\ omega} _1 + \ vec {\ omega} _2 [/ matemáticas].

Para encontrar la posición de un punto [math] \ vec {x} [/ math] después de rotar por [math] \ vec {\ omega} [/ math] para el tiempo [math] t [/ math], primero puede convertir la velocidad angular a la representación del ángulo del eje (el eje de rotación es [matemática] \ vec {\ omega} / \ left \ Vert \ vec {\ omega} \ right \ Vert [/ matemática], y el ángulo de rotación es [ math] t \ left \ Vert \ vec {\ omega} \ right \ Vert [/ math]), luego use la fórmula de rotación de Rodrigues para obtener la posición resultante.

Tenga en cuenta que el lat / long tiene que convertirse a coordenadas cartesianas para aplicar estas fórmulas. El uso de coordenadas cartesianas generalmente le brinda fórmulas más simples.

Answer 2

Suponga que cada vector en la superficie de una esfera es la parte corta de un Gran Círculo. Luego, si tiene el vector A de cola a punta en la cola del vector B, encontrará el gran segmento circular que conecta la cola de A con la nariz de B. Ahora ha hecho un triángulo vectorial.