La geometría de la incidencia fue utilizada por Jacques Tits en el estudio de grupos simples finitos y una parte importante de la misma fue desarrollada por él. De alguna manera, estaba invirtiendo la tendencia de estudiar geometría a través de la teoría de grupos. Algunos de los conceptos introducidos o estudiados por él son polígonos generalizados, espacios polares y edificios. Estos son objetos geométricos importantes para estudiar grupos de tipo Lie. A finales de los años 70, Buekenhout desarrolló la noción de geometrías de diagrama con la esperanza de utilizar un enfoque geométrico (en el sentido de Tits) para clasificar grupos simples finitos. Aunque la clasificación se completó sin el uso completo de este enfoque, sigue siendo un concepto muy importante estudiar los grupos esporádicos de manera uniforme.
Antes de Tits, Beniamino Segre inició el estudio de espacios proyectivos / afines sobre campos finitos. Utilizó algunas técnicas combinadas de geometría algebraica clásica y para probar varios resultados altamente no triviales. En palabras de Bueknhout [3] “En muchos aspectos, todos nosotros, incluidos los Tits, éramos estudiantes de Segre”. Los espacios proyectivos y afines sobre campos finitos son ahora objetos importantes para la combinatoria, la teoría de la codificación, la teoría del diseño, etc., como he mencionado en mi respuesta anterior: ¿Cuál es la importancia del plano proyectivo en las matemáticas? La geometría finita también se usa en el estudio de semifield finito, también conocido como álgebras de división no asociativas (ver [1]).
La geometría de la incidencia también juega un papel importante en la teoría de grafos, ya que los polígonos cercanos regulares son una clase importante de gráficos de distancia regular que a su vez son una parte integral de los esquemas de teoría de asociación. Además, los polígonos generalizados (edificios de rango 2) son precisamente los gráficos de Moore de circunferencia uniforme y, por lo tanto, proporcionan importantes clases infinitas de jaulas (consulte el capítulo 3 en [2] y la Sección 2.2 en [10]). La descripción de todas las jaulas conocidas está disponible aquí: http://www.win.tue.nl/~aeb/graph….
Los polígonos generalizados y otras geometrías finitas también se utilizan en la construcción de gráficos bipartitos libres de ciclo extremo [13]. Ver el problema de Zarankiewicz y [15]. Como otro ejemplo, las gráficas bipartitas formadas tomando la incidencia entre puntos e hiperplanos de un espacio proyectivo finito forman gráficas altamente expansivas con el menor número de aristas, ver [9]. Además, algunos de los límites inferiores constructivos más conocidos en los números de Ramsey fuera del diagnóstico se obtienen utilizando estas geometrías [14].
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Otra aplicación de algunas estructuras de la geometría de incidencia, como los polígonos generalizados, es la construcción de códigos de verificación de paridad de baja densidad (LDPC) [11], [12]. También vea la encuesta reciente de Tuvi Etzion y Leo Storme, Geometría de Galois y teoría de la codificación, para obtener más conexiones entre la geometría de incidencia y la teoría de la codificación.
Para una descripción histórica de la geometría de incidencia, ver [3] y [4]. En mi opinión, [5] y [6] son buenos textos introductorios para este tema. Algunos de los temas de investigación importantes en Geometría de Galois (geometría sobre campos finitos) se pueden encontrar en [7].
Referencias
[1] http://cage.ugent.be/~ml/LaPo201…
[2] http://www.cs.elte.hu/~hetamas/p…
[3] http://cage.ugent.be/~fdc/intens… – Buekenhout
[4] Manual de geometría de la incidencia: edificios y cimientos.
[5] Geometría de Incidencia – Moorhouse
[6] Una introducción a la geometría finita – Ball and Weiner
[7] Temas de investigación actuales en geometría de Galois
[8] Elementos de geometría finita
[9] Valores propios, expansores geométricos, clasificación en rondas y teoría de ramsey – Noga Alon
[10] Encuesta dinámica de la jaula
[11] Códigos de verificación de paridad de baja densidad basados en geometrías finitas: un redescubrimiento y nuevos resultados
[12] Códigos LDPC de polígonos generalizados
[13] Sobre el número de Turan para el hexágono
[14] Algunos límites constructivos en los números de Ramsey
[15] Polaridades y gráficos libres de 2k ciclos
[16] Revisión del libro de Pasini “Diagram Geometries”