¿Qué es una teoría de representación geométrica?

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La teoría de la representación es el estudio de las simetrías básicas de las matemáticas y la física. Los grupos de simetría vienen en muchos sabores diferentes: grupos finitos, grupos de mentiras, grupos p- adicos, grupos de bucles, grupos adelicos, … Una característica sorprendente de la teoría de la representación es la persistencia de estructuras fundamentales y temas unificadores en toda esta gran diversidad de escenarios. Uno de esos temas es la filosofía de Langlands, una vasta generalización nobeliana de la transformación de Fourier del análisis armónico clásico, que sirve como una hoja de ruta visionaria para el tema y lo coloca en el corazón de la teoría de números.

Los objetivos fundamentales de la teoría de la representación geométrica son descubrir las estructuras geométricas y categóricas más profundas que subyacen a los objetos familiares de la teoría de la representación y el análisis armónico, y aplicar las ideas resultantes a la resolución de problemas clásicos. Un ejemplo innovador de su éxito es la generalización de Beilinson-Bernstein del teorema de Borel-Weil-Bott, que proporciona una construcción uniforme de todas las representaciones de grupos de Lie a través del estudio geométrico de ecuaciones diferenciales en variedades de bandera.

El estudio geométrico de las representaciones a menudo revela capas más profundas de estructura en forma de categorización. La categorización generalmente reemplaza los números (como los valores de los caracteres) por espacios vectoriales (típicamente grupos de cohomología) y los espacios vectoriales (como los anillos de representación) por categorías (típicamente de gavillas). Es una explicación primaria para la integralidad milagrosa y las propiedades de positividad en la combinatoria algebraica. Un triunfo reciente de los métodos geométricos es la prueba de Ngô del Lema Fundamental, un ingrediente técnico clave en el programa Langlands. La prueba se basa en la interpretación cohomológica de integrales orbitales, que pone a disposición las herramientas topológicas profundas de la geometría algebraica (como la teoría de Hodge y las conjeturas de Weil).

Fuente: https://www.msri.org