Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano equidistantes de una línea dada
(la directriz de sección cónica) y un punto dado
no en la línea (el foco). El parámetro focal (es decir, la distancia entre la directriz y el foco) viene dado por
, dónde
es la distancia desde el vértice hasta la directriz o foco. La superficie de revolución obtenida al girar una parábola sobre su eje de simetría se llama aparaboloide.
La parábola fue estudiada por Menaechmus en un intento por lograr la duplicación de cubos. Menaechmus resolvió el problema al encontrar la intersección de las dos parábolas
y
. Euclides escribió sobre la parábola, y Apolonio le dio su nombre actual. Pascal consideró la parábola como una proyección de un círculo, y Galileo mostró que los proyectiles que caen bajo gravedad uniforme siguen caminos parabólicos. Gregory y Newton consideraron las propiedades catacaústicas de una parábola que enfoca los rayos de luz paralelos (Archivo MacTutor), como se ilustra arriba.
Para una parábola que se abre a la derecha con vértice en (0, 0), la ecuación en coordenadas cartesianas es (1)
(2)
(3)
(4)
La cantidad se conoce como el latus recto. Si el vértice está en
en lugar de (0, 0), la ecuación de la parábola es
(5)
Si la parábola se abre hacia arriba, su ecuación es (6)
Tres puntos determinan de manera única una parábola con directriz paralela a la
-eje y uno con directriz paralela a la
-eje. Si estas parábolas pasan por los tres puntos
,
y
, están dados por ecuaciones
(7)
y (8)
En coordenadas polares, la ecuación de una parábola con parámetro
y el centro (0, 0) viene dado por
(9)
(figura izquierda). La equivalencia con la forma cartesiana se puede ver estableciendo un sistema de coordenadas y enchufar
y
para obtener
(10)
Expandir y recopilar términos, (11)
entonces resolviendo para da (◇). Un conjunto de parábolas confocales se muestra en la figura de la derecha.
En las coordenadas del pedal con el punto del pedal en el foco, la ecuación es (12)
La parábola se puede escribir paramétricamente como (13)
(14)
o (15)
(dieciséis)
Un segmento de una parábola es una curva de Lissajous. Se puede generar una parábola como la envoltura de dos segmentos de línea concurrentes conectando puntos opuestos en las dos líneas (Wells 1991).
En la figura anterior, las líneas
,
y
son tangentes a la parábola en puntos
,
y
, respectivamente. Entonces
(Wells 1991). Por otra parte, la circunferencia de
pasa por el foco
(Honsberger 1995, p. 47). Además, el pie de la perpendicular a una tangente a una parábola desde el foco siempre se encuentra en la tangente en el vértice (Honsberger 1995, p. 48).
Dado un punto arbitrario
ubicado “fuera” de una parábola, la tangente o tangentes a la parábola a través de
se puede construir dibujando el círculo que tiene
como un diámetro, donde
Es el foco. Luego ubica los puntos
y
en el cual el círculo corta la tangente vertical a través
. Los puntos
y
(que pueden colapsar en un solo punto en el caso degenerado) son entonces los puntos de tangencia de las líneas
y
y la parábola (Wells 1991).
La curvatura, la longitud del arco y el ángulo tangencial son (17)
(18)
(19)
El vector tangente de la parábola es (20)
(21)
Las gráficas a continuación muestran los vectores normales y tangentes a una parábola.
Fuente:
Weisstein, Eric W. “Parábola”. De MathWorld –Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Par…