Dado un triángulo con dos bisectrices de ángulo igual, ¿debe ser un triángulo isósceles? ¿Cuál es la prueba?

Answer 1

Este es un problema famoso y algo notorio en geometría elemental, conocido como el teorema de Steiner-Lehmus. Existen numerosas pruebas, pero ninguna de ellas sigue el molde típico de las pruebas elementales en geometría euclidiana: “construya esto, luego este ángulo es igual a ese ángulo, concluya que estos triángulos son congruentes, por lo que estos segmentos son iguales”, etc.

Hay razones para creer que no existe una prueba elemental de este tipo. El argumento, tal como lo explicó Conway (véase Imposible supuesta imposibilidad de una prueba “directa” del teorema de Steiner-Lehmus), es que dicha prueba funcionaría para situaciones análogas en las que las “longitudes” de los lados del triángulo pueden ser negativas ( o complejo), pero tales generalizaciones son falsas . Por lo tanto, cualquier prueba debe hacer uso real de la relación de orden de los reales (o la noción de “positividad”), y de hecho encontramos desigualdades en todas las pruebas conocidas. No está claro si esas declaraciones imprecisas pueden hacerse rigurosas, pero al menos dan crédito a la afirmación de que este problema es más difícil que el stock habitual de problemas en la geometría euclidiana.

No sé si esto se le dio a alguien como un problema de tarea real, es bastante cruel, pero de todos modos no escribiré una solución completa aquí. En cambio, examinaré dos enfoques comunes.

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Un enfoque algebraico es el siguiente. Primero, dado un triángulo con lados [matemática] a, b, c [/ matemática], es posible derivar una fórmula para la longitud [matemática] x [/ matemática] de la bisectriz del ángulo opuesto al lado [matemática] a [/ matemáticas], por ejemplo. Se puede encontrar una buena derivación de esta fórmula, por ejemplo, en Longitud de la bisectriz de ángulo en ProofWiki. Resulta que

[matemáticas] x ^ 2 = \ frac {bc} {(b + c) ^ 2} \ left ((b + c) ^ 2-a ^ 2 \ right) [/ math].

Ahora, en nuestro caso, dos de estas bisectrices son iguales. Al comparar las dos expresiones y multiplicarlas por los denominadores, podemos reescribir la condición como [math] (ac) p (a, b, c) = 0 [/ math] donde [math] p [/ math] es un polinomio aterrador . Aquí es donde entra en juego la positividad: para concluir que de hecho [matemáticas] a = c [/ matemáticas] de alguna manera debemos argumentar que [matemáticas] p (a, b, c) \ neq 0 [/ matemáticas], y esto es realmente así que como todo lo que está dentro de [math] p [/ math] puede verse como positivo.

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Un enfoque más geométrico es el siguiente. Comience con el triángulo [matemática] ABC [/ matemática] con la bisectriz angular en [matemática] A [/ matemática] encontrando el borde opuesto en [matemática] D [/ matemática] y la bisectriz angular en [matemática] B [/ matemática] encontrando el borde opuesto en [matemáticas] E [/ matemáticas]. Ahora construya el punto [matemática] F [/ matemática] de manera que [matemática] EF [/ matemática] sea paralela a [matemática] AD [/ matemática], y de igual longitud.

Primero muestre que (*) [matemática] \ angle EFB = \ angle EBF [/ math]. Ahora comience suponiendo que [matemática] a> b [/ matemática] donde [matemática] a = \ angle CAB [/ matemática] es el ángulo interior en [matemática] A [/ matemática] y de manera similar para [matemática] b [ /matemáticas]. Entonces [math] \ angle EFD [/ math] es mayor que [math] \ angle EBD [/ math]. Combinando esto con (*) concluya que [math] \ angle DFB [/ math] es más pequeño que [math] \ angle DBF [/ math]. ¿Qué dice esto sobre los segmentos [matemática] DF [/ matemática] y [matemática] DB [/ matemática]? Al notar que [math] DF = AE [/ math], concluya que [math] a <b [/ math] que está en contradicción directa con la suposición con la que comenzamos. A partir de esto, es fácil completar la prueba.

Observe cómo no pudimos probar [matemáticas] a = b [/ matemáticas] directamente persiguiendo ángulos y triángulos alrededor. Necesitamos asumir una desigualdad, [matemática] a> b [/ matemática], y derivar una contradicción. Esta es la característica inusual de este problema.

Answer 2

GD Mistriotis, estudiante de doctorado graduado,

Universidad de Carleton, Ottawa, [correo electrónico protegido]

Este sitio se creó para responder a la pregunta: “Dado un triángulo con dos anglebisectores iguales, ¿debe ser un triángulo isósceles?”. A juzgar por la respuesta indicada, las dos bisectrices de ángulo igual “están implícitas como” las bisectrices internas “.

Sin embargo, la respuesta es incompleta, porque la pregunta también es válida para las “bisectrices de ángulo externo”. El teorema relacionado que sigue, no se copia de ningún lado y es un descubrimiento personal. Espero no haber redescubierto la rueda.

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Teorema de dos bisectrices de ángulo externo iguales ©: En un triángulo ABC, seamos iguales a las dos bisectrices de ángulo externo Db = Dc. Entonces, el triángulo es isósceles (AB = AC) o se satisfacen las siguientes relaciones:

∡A <60 ° y AI = 2.ΜΝ (1)

dondeΝ es el punto medio del lado a = BC, Μ el punto de intersección del círculo circunferencial y la bisectriz interna del ángulo ∡A e I es el centro del círculo inscrito (I, r) en el triángulo ABC.

Nota: Dado que para cualquier triángulo ABC, IM = BM, es decir, el triángulo MBI es isósceles, sigue que

AΜ = BΜ + 2.ΜΝ ⟺ AI = 2.ΜΝ (2)

La relación (2) es muy importante y útil para construir y dibujar un triángulo ABC no isósceles, dado el lado conocido a = BC, su ángulo ∡A <60 ° y que son iguales las dos bisectrices del ángulo externo Db = Dc - ( vidente debajo de la figura.

La prueba del teorema se deriva después de un esfuerzo duro persistente de cuatro meses.

Aunque el resultado es una relación geométrica simple y clara, su derivación y prueba es lemgthy y algebraica. Comienza con la igualdad Db = Dc usando y tomando de acuerdo las fórmulas para las longitudes de bisectriz externas del ángulo triangular.

Es natural que la prueba de este teorema sea dura y fortuita, porque este teorema da una respuesta a una pregunta planteada al menos hace 150 años. Hace mucho tiempo se sabía que el triángulo ABC con ángulos ∡A = 36 °, ∡B = 132 ° y ∡C = 12 ° tiene sus dos bisectrices de ángulo externo Db = Dc. Este conocimiento permitió a muchos autores responder al sitio pregunta con un “No” plano. Pero esto no cubre el tema por completo, de la misma manera que el conocimiento de los egipcios, cientos de años antes de Pitágoras, de que el triángulo con las longitudes laterales 3, 4, 5 es un triángulo rectángulo no constituye el conocimiento del teorema de Pitágoras.

Prueba del teorema: por el momento, cualquier persona interesada puede pedir la prueba de [correo electrónico protegido]

Sin embargo, se dan dos cifras relacionadas.

Answer 3

Supongo que estás buscando una forma geométrica ordenada de hacer esto. Pero la forma de fuerza bruta aburrida sería usar la fórmula para la longitud de una bisectriz angular: la bisectriz del ángulo en el vértice [matemática] A [/ matemática] tiene una longitud [matemática] d_A [/ matemática] donde [matemática] d_A ^ 2 = \ dfrac {bc} {(b + c) ^ 2} \ left ((b + c) ^ 2 -a ^ 2 \ right) [/ math], como puede encontrar en la web con bastante facilidad. (Aquí [matemática] a [/ matemática] es la longitud del lado opuesto al vértice [matemática] A [/ matemática], etc., como de costumbre).

Establecer [math] d_A ^ 2 -d_B ^ 2 = 0 [/ math] y factorizar (usando, por ejemplo, maple) da un producto de cuatro términos, tres de los cuales son claramente positivos ya que los lados tienen una longitud positiva, y el cuarto es [math ] ab [/ matemáticas].

Para una prueba geométrica, buscaría la prueba de la fórmula anterior y vería si se puede usar de alguna manera.

Answer 4

¡Bastante sencillo!

Como si en el triángulo ABC, las bisectrices angulares BD = CD

Luego, en el triángulo DBC,

=> 2

=>

=> AB = AC

Entonces, el triángulo ABC es un triángulo isósceles.

Answer 5

Para el triángulo isósceles, el ángulo 2 debe ser igual

Tomemos el ángulo bisecado

Deje que un ángulo sea A y el otro sea B

Entonces,

A menos que B (1)

A es mayor que B (2)

A = B (3)

Si A es menor que B, la bisectriz de A es mayor que la de B bcz.

Si A es mayor que B, entonces la bisectriz de B es más grande que la de A bcz.

Como hay contradicción tanto en la 1ª como en la 2ª ecuación, solo la 3ª es posible, por lo que el ángulo A = ángulo B

Por lo tanto, el lado opuesto al ángulo igual es igual, por lo que el triángulo es isósceles.

Por lo tanto, el triángulo es isósceles.

Answer 6

Use el hecho de que las bisectrices de los ángeles se cruzan en el centro del círculo inscrito, denote su radio como ‘r’, tome los ángeles como ‘a_’ y ‘b_’, demuestre que las longitudes de las bisectrices son 1. (r / Sin (a_ / 2) + r / Sin (a_ / 2 + b_)) y 2. (r / Sin (b_ / 2) + r / Sin (a_ + b_ / 2)) respectivamente. Por lo tanto a_ = b_. cuál es la única solución con la restricción a_, b_> 0 y a_ + b_ <180 grados).

Answer 7

Espero que esto ayude.