Se eligen dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia entre los 2 puntos sea al menos ‘r’, el radio del círculo?

Answer 1

Bueno, este problema puede abordarse de tres maneras diferentes

Los extremos de cualquier acorde dado yacerán en la circunferencia del círculo. Tome cualquier punto aleatorio en la circunferencia del círculo y márquelo como “A”. Dibuja un hexágono regular del lado “r” con “A” como uno de los vértices. Ahora, para que el acorde sea más largo que el radio del círculo, el segundo punto debe estar en el arco (FEDB). Entonces, la probabilidad de que el acorde sea más largo que el radio =
Arco (FEDB) / Circunferencia => 2/3

La distancia de cualquier acorde dado desde el centro del círculo varía de 0 a r. La distancia del acorde AB (ver figura) desde el centro del círculo = d = sqrt (r ^ 2-r ^ / 4) = (sqrt (3) r) / 2. Luego, para que el acorde sea más largo que “r”, “d” debe estar b / w 0 y (sqrt (3) r) / 2. Entonces, la probabilidad de que el acorde sea más largo que el radio =
sqrt (3) r) / 2 = 0.866  
r
Imagine un círculo concéntrico dibujado desde el centro del círculo con radio d = 0.866 (del sol anterior). Luego, para que el acorde sea más largo que “r”, el punto medio del acorde debe estar dentro del círculo concéntrico de radio “d”. Entonces, la probabilidad de que el acorde sea más largo que el radio =
(pi d ^ 2) / (pi r ^ 2) = 0,75

Answer 2

Depende de la distribución de los puntos en la circunferencia.

• Si los dos puntos se eligen independientemente al azar de una distribución que es 50-50 entre dos puntos antipodales, entonces la probabilidad es exactamente la mitad: hay una mitad de posibilidades de que elijas puntos opuestos y una mitad de posibilidades de que elijas mismo punto dos veces
• Si los dos puntos se eligen independientemente al azar de la distribución uniforme en la circunferencia, puede calcular la respuesta como se describe en la respuesta de Kruba Kar.
• Si los dos puntos se eligen de una distribución conjunta bajo la cual no son independientes, podría darse cuenta de probabilidades de 0 o 1 o algo intermedio dependiendo de la distribución.

Consigamos la respuesta en general. Llame a nuestros dos ángulos [math] \ theta_1 [/ math] y [math] \ theta_2 [/ math]. Para evitar problemas con ellos, permitámosles tomar cualquier valor. Deje que [math] \ mu_1 [/ math] y [math] \ mu_2 [/ math] sean las medidas de probabilidad asociadas, de modo que

[matemáticas] \ text {Pr} [a <\ theta_1

para cualquier [matemática] a, b [/ matemática] con [matemática] a

Es más fácil calcular la probabilidad de que la distancia entre estos dos puntos en el círculo sea menor que r, a partir de lo cual es fácil calcular la probabilidad de que la distancia sea al menos r. En particular, la distancia será menor que r cuando

[matemáticas] \ theta_2 \ in \ theta_1 + 2 \ pi n + \ left (\ frac {- \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {3} \ right) [/ math]

para algún número entero [matemáticas] n [/ matemáticas]. Esto describe una secuencia infinita de tiras diagonales rectangulares en el plano. Intersecando esto con algún cuadrado [matemático] 2 \ pi \ times 2 \ pi [/ matemático] en el plano, digamos con [matemático] [0, 2 \ pi) \ veces [0, 2 \ pi) [/ matemático], obtenemos un dominio [matemático] E [/ matemático] sobre el cual podemos integrarnos.

(Haré algunas fotos más tarde).

La probabilidad de que la distancia entre los dos puntos sea al menos el radio del círculo será

[matemáticas] 1 – \ int_E d (\ mu_1 \ times \ mu_2) [/ matemáticas]

Ahora, si sabemos algo más sobre [matemáticas] \ mu_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ mu_2 [/ matemáticas], la imagen se simplifica. Por ejemplo, si como en la respuesta de Kruba Kar, suponemos que [math] \ mu_1 [/ math] y [math] \ mu_2 [/ math] son ​​la distribución uniforme, entonces recibiremos la respuesta allí.

Una pregunta interesante es si, si los dos puntos se distribuyen independientemente, hay existe una distribución para la cual la respuesta de Sumant Hegde es correcta. Mi intuición es que la respuesta es “no”, pero en realidad no lo he comprobado.

Answer 3

Elija un punto aleatorio en la circunferencia. El segundo punto se puede colocar en cualquier lugar de la circunferencia, excepto dentro de los 60 grados a la izquierda o derecha del punto inicial (es decir, el ángulo barrido por la línea que une el centro y el punto inicial, a la izquierda o derecha, debe ser mayor que o igual a 60 grados). La figura lo explica mejor. El 1 marcado en la figura es el punto inicial elegido al azar (disculpas por la figura desordenada)
Y, dado que 360 ​​grados es el espacio muestral, la probabilidad es (360 – 120) / 360, lo que equivale a 2/3

Answer 4

Tomemos dos puntos A y B en círculo con la distancia entre ellos ‘r’.

Vemos que si acercamos más a B, es cuando el ángulo entre A y B disminuirá y la distancia entre A y B también disminuirá.

Ahora queremos los puntos A y B de modo que la distancia entre ellos sea mayor que r. Por lo tanto, el ángulo entre ellos debe ser mayor de 60 grados porque a 60 grados de radio es r y si disminuimos el ángulo, la distancia entre puntos disminuye.

Entonces, el punto B no puede estar en la región de 60 grados de A en ambos lados, es decir, B no puede estar en 60 grados a la izquierda de A y 60 grados a la derecha de A.

Por lo tanto, probabilidad = (ángulo donde B puede existir) / (ángulo total)

P = (360 – (60) – (60)) / 360

P = 2/3

Answer 5

Déjame tomar un enfoque diferente. Elija 2 puntos aleatorios en la circunferencia, A y B, como en la figura a continuación. Ahora puede dibujar exactamente una línea desde el centro O a P, el punto medio de AB.
Observe la correspondencia uno a uno entre AB y OP. Además, cuando la longitud de AB es igual a r, la longitud de OP es igual a r * sqrt (3) / 2. (¿Cómo? De la propiedad de los círculos, AB es perpendicular a OP. Entonces APO es un triángulo rectángulo con AP = r / 2 y AO = r. Aplicar el teorema de Pitágoras)
Entonces, la probabilidad de AB> = r es la misma que la probabilidad de que OP <= r * sqrt (3) / 2, que es sqrt (3) / 2, ¡o 0.87!

¿Cuál de las respuestas es verdadera?
Me parece que es una variante de la paradoja de @Bertrand (probabilidad)

Answer 6

La pregunta pide la “distancia” entre dos puntos, no la distancia más corta, por lo tanto, ¿no debería ser la respuesta
(2 * π * r – 2 * r) / 2 * π * r
= 1 – 1 / π
= 0,682