¿Cuál es la línea tangente a una curva?

Círculos

Históricamente, el caso más antiguo de tangentes eran tangentes a círculos.

Elementos de Euclides, Libro III, Definiciones 2 y 3 los definen. Puedes traducir la palabra griega como “tangente a”, “tocar”, “oscular” o “besar” como quieras. Diré tangente.

Definición 2

Se dice que una línea recta es tangente a un círculo que, al encontrarse
el círculo y siendo producido, no corta el círculo.
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Definición 3

Se dice que los círculos son tangentes entre sí
que se encuentran pero no se cortan.

En la figura, la línea EF es tangente al círculo BCD en C, y los círculos DNM y HKL son tangentes al círculo BCD en D y en H, respectivamente.

En el Libro III, Euclides dio construcciones de tangentes y propiedades.

En las matemáticas modernas, podríamos decir que un círculo y una línea (es decir, una línea infinitamente extendida) en un plano son tangentes si el círculo y la línea se intersecan exactamente en un punto del plano.

Definir tangentes a parábolas (y otras curvas) es un poco más difícil ya que una línea puede cortar una parábola en un punto sin ser tangente a ella. Aún así, parecía obvio lo que se entiende por tangente.

Sin embargo, no es tan fácil. El concepto mismo de una curva ha cambiado mucho desde Euclides para incluir cosas que nunca hubiera contemplado.

¿Qué es una curva?

No nos restringimos a dos dimensiones, sino que también incluimos curvas en el espacio y curvas en el plano.

La forma más fácil de describir una curva en el espacio es darla paramétricamente, es decir, describir los puntos (x, y, z) en términos de un parámetro t, considerado como el tiempo. Las variables x, y y z cambian con t, es decir, son funciones de t. Podemos pensar en (x, y, z) como un punto que se mueve a lo largo de la curva en el tiempo. Como punto de movimiento, tiene una velocidad, y esa velocidad viene dada por (x ‘, y’, z ‘), donde x’, y ‘y z’ son las derivadas de x, y y z con respecto a t.

Y la tangente a esa curva, ¿qué es eso?

Esa parametrización no ayudará a menos que exista la velocidad (x ‘, y’, z ‘), es decir, a menos que x, y y z sean diferenciables. Tampoco ayudará si (x ‘, y’, z ‘) = (0,0,0), lo que significa que el punto no tiene velocidad en el tiempo t.

Pero si (x ‘, y’, z ‘) existe y no es (0,0,0), entonces ese vector de velocidad (como se le llama) apunta en la dirección de la línea tangente y el punto (x, y, z) es un punto en la recta en el tiempo t. Si conoce la dirección de una línea y conoce un punto en ella, entonces conoce la línea.

Un ejemplo en 2 dimensiones.

Considera el círculo. Oh, por qué no, ahí es donde comenzó todo. Puede parametrizar el círculo unitario mediante (x, y) = (cos t, sin t). En el momento t, el punto está en (cos t, sen t). La velocidad en el tiempo t es (x ‘, y’) = (-sin t, cos t). Tomemos un tiempo particular, t = 0. Entonces el punto es (1,0) y la velocidad es (0,1). La dirección de la línea es recta. Si tiene un punto (a, b) y una dirección (c, d), puede parametrizar la línea como (x, y) = (a, b) + t (c, d), y en este caso esa parametrización es (x, y) = (1,0) + t (0,1), que es (x, y) = (1, t). Eso describe la línea cuya coordenada x es siempre 1 y cuya coordenada y toma todos los valores reales. Es la línea vertical tangente al círculo en (1,0).

Conclusión

Si solo quieres tangentes para círculos agradables, es fácil definirlos. No es tan fácil cuando intentas hacerlo en general. Realmente necesitas derivados para hacerlo bien.