Pruebas (matemáticas): ¿Cómo demuestras que <CTP = <CBP + <BCN?

Answer 1

Bien…

[matemática] \ angle {CBP} = \ tan ^ {- 1} \ frac {CP} {BP} = \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {4} [/ math]
[matemáticas] \ ángulo {BCN} = \ tan ^ {- 1} \ frac {BN} {BC} = \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ angle {CBP} + \ angle {BCN} = tan ^ {- 1} \ frac {1} {4} + \ tan ^ {- 1} \ frac {1} {2} [/ math]
[matemáticas] = \ tan ^ {- 1} \ frac {1/4 + 1/2} {1- (1/4) (1/2)} = \ tan ^ {- 1} \ frac {6} { 7} [/ matemáticas]
por la fórmula de adición de tangente (para ver esto, tome la tangente de ambos lados).

OK, el último ángulo es un poco más complicado. Pero sin miedo …

Sea [math] S [/ math] el pie de la perpendicular de [math] T [/ math] a [math] BC [/ math]. Deje [math] BS = x, [/ math] so [math] SC = 4-x [/ math]. Por triángulos similares, [matemática] TS = 2-x / 2 [/ matemática], y también [matemática] TS = x / 4 [/ matemática], por lo que resolver rendimientos [matemática] x = 8/3 [/ matemática], así que en particular [matemáticas] NT / TC = BT / TP = 2 [/ matemáticas], nuevamente por triángulos similares.

OK, entonces [matemáticas] TP = \ frac {BP} {3} = \ frac {\ sqrt {17}} {3} [/ matemáticas] por el teorema de Pitágoras, y [matemáticas] CT = CN / 3 = \ frac {\ sqrt {20}} {3} [/ math]. Ahora, aplique la ley de cosenos en [matemática] CTP [/ matemática] para encontrar que [matemática] \ angle {CTP} = \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {\ frac {17} {9} + \ frac {20} {9} – 1} {2 \ frac {\ sqrt {17}} {3} \ frac {\ sqrt {20}} {3}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ cos ^ {- 1} \ frac {7} {\ sqrt {85}} [/ matemáticas]
Se deja mostrar [matemáticas] \ tan ^ {- 1} \ frac {6} {7} = \ cos ^ {- 1} \ frac {7} {\ sqrt {85}}. [/ Matemáticas] Pero es solo el ángulo agudo más pequeño en un triángulo [matemático] 6-7- \ sqrt {85} [/ matemático], ¡así que hemos terminado!

Answer 2

Aquí hay una prueba.
Sea Del mismo modo, deje que

Paso 1 <3 = <4 (los ángulos verticalmente opuestos son congruentes). [Estoy usando el signo '=' para significar congruente debido a la falta de dicho símbolo en mi teclado]]
Paso 2 <1 + <2 + <5 = 180 grados (suma de ángulos en un triángulo)
Paso 3 <5 = 180 - (<1 + <2) (resta)
Paso 4 <4 + <5 = 180 (los ángulos en una línea recta equivalen a 180 grados)
Paso 5 <5 = 180 - <4 (resta)
Paso 6 180 – (<1+ <2) = 180 - <4 (de igualar el paso 3 y el paso 5 y usar la propiedad transitiva)
Paso 7 <1+ <2 = <4 (simplificación)
Paso 8 <1 + <2 = <3 (sustitución del paso 1)
Paso 9 <3 = <1 + <2 (propiedad simétrica) Por lo tanto, QED, ¡lo hemos probado!

Answer 3

[math] \ angle CBP [/ math] y [math] \ angle BCN [/ math] son ​​dos de los tres ángulos del triángulo [math] BTC [/ math]. Como los tres suman 180 grados, tenemos

[matemáticas] 180 ^ {\ circ} – \ angle BTC = \ angle CBP + \ angle BCN [/ math]

Luego, mirando la línea [matemática] BP [/ matemática], se divide por la línea [matemática] NC [/ matemática], y los dos ángulos a cada lado deben ser dd hasta 180 grados, entonces

[matemáticas] 180 ^ {\ circ} – \ angle BTC = \ angle CTP [/ math]

La combinación de estos le da el resultado que desea.

Answer 4

sin trig:
180 = 180 = reste

Answer 5

El ángulo exterior es igual a la suma de dos ángulos interiores.