¿Cuál es la función inversa de g (x) = 5 ^ (x + 2)?

En primer lugar, si grafica la ecuación dada, g (x) = 5 ^ (x + 2) , que define la función exponencial g, verá que la gráfica de la función g es una curva suave que pasa la prueba de la línea horizontal, es decir, no hay una línea horizontal que intersecte la gráfica de g (x) = 5 ^ (x + 2) en más de un punto; por lo tanto, la función g es una función uno a uno y, por lo tanto, ¡tiene una función inversa! (Recuerde, una función uno a uno no es solo una función en la que cada miembro de su dominio está asociado con exactamente un miembro de su rango, según la definición de una función, sino también, cada miembro de su rango está asociado con exactamente un miembro de su dominio)

Ahora, estamos listos para comenzar el proceso de encontrar la ecuación, gˉˡ (x), que define la función inversa gˉˡ:

(1.) g (x) = 5 ^ (x + 2) (la ecuación dada que define la función g)

Reemplace g (x) con y, y la ecuación (1.) se convierte en:

(2.) y = 5 ^ (x + 2)

Ahora, intercambie las variables x e y en la ecuación (2.) para producir la siguiente ecuación nueva:

(3.) x = 5 ^ (y + 2)

Ahora, resolvamos por y:

(4.) log₅ x = log₅ [5 ^ (y + 2)]

(5.) log₅ x = (y + 2) (log₅ 5) por el logaritmo de una propiedad de poder,
es decir, logь rᵖ = p (logь r), si r y b son
números reales positivos, b ≠ 1 y p
Es cualquier número real.

(6.) log₅ x = (y + 2) (1) por la propiedad logaritmo logь b = 1, para
b> 0 y b ≠ 1.

(7.) y + 2 = log₅ x (la igualdad es simétrica, es decir, si a = b, entonces b = a)

(8.) y + 2 – 2 = (log₅ x) – 2

(9.) y = (log₅ x) – 2

Ahora, reemplace y con gˉˡ (x) en la ecuación (9.), y la función inversa deseada gˉˡ se define mediante la siguiente ecuación:

(10.) g ˉˡ (x) = (log ₅ x) – 2

Verificación (muy importante) :
Dado que las funciones inversas se deshacen entre sí, cuando combinamos las ecuaciones que definen las funciones g y gˉˡ en una operación llamada composición, nuestro resultado final o salida en cualquier dirección debe ser solo x, la entrada inicial, es decir:

(g ᵒ gˉˡ) (x) = g (gˉˡ (x)) = x y (gˉˡ ᵒ g) (x) = gˉˡ (g (x)) = x.

(1.) (g ᵒ gˉˡ) (x) = g (gˉˡ (x))

= g ([log₅ x] – 2)

= 5 ^ {([log₅ x] – 2) + 2)}

= 5 ^ (log₅ x)

= x por una propiedad de logaritmos: b ^ (logь r) = r,
donde b> 0, b ≠ 1 yr> 0.

(g ᵒ gˉˡ) (x) = g (gˉˡ (x)) = x para todas las x en el dominio de gˉˡ.

(2.) (gˉˡ ᵒ g) (x) = gˉˡ (g (x)) = gˉˡ (5 ^ (x + 2))

= log₅ [5 ^ (x + 2)] – 2

= (x + 2) (log₅ 5) – 2

= (x + 2) (1) – 2

= x + 2 – 2

= x

(gˉˡ ᵒ g) (x) = gˉˡ (g (x)) = x para todas las x en el dominio de g.

Conclusión
La función g definida por la ecuación dada g (x) = 5 ^ (x + 2) tiene una función inversa denotada por gˉˡ que se define por la ecuación:
g ˉˡ (x) = (log ₅ x) – 2