Cuando los números se escriben en la base b, tenemos 15 * 22 = 414, ¿cuál es el valor de b?

Answer 1

Deje que la base sea [matemáticas] b [/ matemáticas]
[matemática] 15 [/ matemática] en base [matemática] b [/ matemática] significa que el valor decimal es [matemática] b + 5 [/ matemática]
[matemática] 22 [/ matemática] en base [matemática] b [/ matemática] significa [matemática] 2b + 2 [/ matemática]
Del mismo modo, [matemática] 414 [/ matemática] en la base [matemática] b [/ matemática] es [matemática] 4b ^ 2 + b + 4 [/ matemática]
Ahora, la ecuación es:
[matemáticas] (b + 5) (2b + 2) = 4b ^ 2 + b + 4 [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] 2b ^ 2 + 12b + 10 = 4b ^ 2 + b + 4 [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] 2b ^ 2 – 11b – 6 = 0 [/ matemáticas]
Resolver la ecuación cuadrática: [matemáticas] b = 6 [/ matemáticas] o [matemáticas] b = – \ dfrac12 [/ matemáticas]
Ahora, como la base es un número entero, [matemáticas] b = 6 [/ matemáticas]

Verificación:
[matemáticas] 15_6 = 6 + 5 = 11_ {10} [/ matemáticas]
[matemáticas] 22_6 = 6 \ veces2 + 2 = 14_ {10} [/ matemáticas]
[matemáticas] 414_6 = 36 \ veces4 + 6 + 4 = 154_ {10} = 11_ {10} \ veces14_ {10} [/ matemáticas]

Answer 2

b = 6.
Simplemente expandiendo la ecuación 15 * 22 = 414 en la base de b tenemos
(1 * (b) ^ 1 + 5 * (b) ^ 0) * (2 * (b) ^ 1 + 2 * (b) ^ 0) = (4 * (b) ^ 2 + 1 * (b) ^ 1 + 4 * (b) ^ 0)

Al resolver esta ecuación cuadrática obtenemos b = 6 o -0.5, suponiendo que desee un número entero como base b = 6

Answer 3