Supongamos que sabemos que f (x) es continua y diferenciable en todas partes. Supongamos también que sabemos que f (x) tiene dos raíces. Demuestre que f ‘(x) debe tener al menos una raíz. Entiendo lo que requiere este problema, pero ¿cómo puedo expresar una respuesta completa? ^^ ‘…

Answer 1

Use el teorema del valor medio. Digamos que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​dos raíces de [matemática] f (x) [/ matemática] y asuma [matemática] a <b [/ matemática]. Por lo tanto, tenemos [matemáticas] f (b) -f (a) = 0 [/ matemáticas]. Usando el teorema del valor medio, sabemos que [math] f (b) -f (a) = (ba) f '(\ zeta) [/ math], para algunos [math] a \ leq \ zeta \ leq b [ /matemáticas]. Como [math] a <b [/ math], lo anterior implica que existe [math] \ zeta [/ math] entre [math] a [/ math] y [math] b [/ math] que es una raíz de [matemáticas] f '(x) [/ matemáticas].

Por otro lado, si [matemática] a = b [/ matemática], podemos escribir [matemática] f (x) = (xa) ^ 2g (x) [/ matemática] para alguna función diferenciable [matemática] g (x )[/matemáticas]. La diferenciación directa de esta función revela que [matemáticas] a [/ matemáticas] también es una raíz de [matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas].

Answer 2

Lo tengo “Supongo” … Si una función tiene dos raíces … básicamente eso significa que x tiene dos valores posibles cuando f (x) es igual a 0? … ahora para que eso sea cierto, debe haber una “X ^ n + a” en la función donde n> 1 (por ejemplo, X ^ 2-4)
-No olvides que f (x) debe ser continua y diferenciable en todas partes
Por lo tanto, f ‘(x) poseerá una “X ^ (n-1)”, lo que significa que tendrá al menos una raíz

ahora por favor, si digo algo malo corrígeme …

Answer 3

Obviamente no haré el problema por ti, pero considera dos puntos arbitrarios en el eje x. Pregunte si es posible unir estos dos puntos con una curva sin una tangente en algún lugar horizontal (sin asíntotas, como se diferencia en todas partes).

Una vez que consideres eso, ¡el teorema de Rolle saldrá de tu prueba!

Answer 4

La respuesta de John es perfecta. La única forma en que f (x) tiene 2 raíces, es decir, golpea el eje x dos veces es cuando tiene al menos un punto con una tangente horizontal o una tangente con pendiente 0. Por lo tanto, f ‘(x) es 0 para eso punto que prueba la hipótesis.

Answer 5

Como dijiste, la función f (x) tiene dos raíces, supongamos que es una parábola de segundo grado. Entonces f ‘(x) no es más que la tangente a la parábola que asumimos. Esta tangente no es nada es una línea recta que definitivamente toca el eje x. Esto demuestra que f ‘(x) tiene una raíz menor.

Answer 6

Lo que sube debe bajar (y así alcanzar un punto crítico y girar).

http://en.wikipedia.org/wiki/Rol …