¿Cómo podemos demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional?

Answer 1

Realmente me gustó esta nueva prueba que encontré mientras estudiaba de mis apuntes.

Suponga que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional. Dejar

Tenga en cuenta que

y

Según el teorema de las raíces racionales, las únicas raíces racionales posibles son [math] \ pm1 [/ math] y [math] \ pm2 [/ math].

Teorema de raíces racionales: Sea [matemático] f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} +… a_ {n} x ^ {n} [/ matemático] sea un polinomio con coeficientes enteros, [matemática] a_ {i} \ epsilon \ mathbb {Z} [/ matemática], [matemática] f (x) \ epsilon \ mathbb {Z} [x] [/ matemática], If [matemática] \ frac {p} {q} [/ math] es una raíz racional con mcd (p, q) = 1, y [math] f (\ frac {p} {q}) = 0 [/ math], entonces [ math] p \ mid a_ {o} [/ math] y [math] q \ mid a_ {n} [/ math].

Lo que significa que la forma fácil de obtener las raíces racionales en la forma [math] \ frac {p} {q} [/ math] es obtener los divisores de [math] a_ {0} [/ math] y [math] a_ {n} [/ matemáticas]. Así es como obtuvimos [math] \ pm1 [/ math] y [math] \ pm2 [/ math].

Sin embargo, [matemáticas] f (\ pm 1) \ neq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (\ pm 2) \ neq 0 [/ matemáticas]. Entonces f (x) no tiene raíces racionales, y dado que [math] \ sqrt {2} [/ math] es una raíz de f (x), no puede ser racional. Entonces [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional.

Answer 2

Hace muchos años (alrededor del año 500 aC), los matemáticos griegos como Pitágoras creían que todos los números podían mostrarse como fracciones.

Y pensaron que la línea numérica estaba compuesta completamente de fracciones, porque para cualquiera de las dos fracciones siempre podemos encontrar una fracción entre ellas (para que podamos mirar más y más cerca de la línea numérica y encontrar más y más fracciones).

La prueba de la irracionalidad de la raíz 2 a menudo se atribuye a

Hippasus de Metapontum, un miembro del culto pitagórico.

Se dice que fue asesinado por su descubrimiento (aunque la evidencia histórica es bastante turbia) ya que a los pitagóricos no les gustó la idea de los números irracionales.

Prueba por contradicción

Supongamos que √ [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es racional, entonces podemos escribir [matemáticas] p / q = √2 [/ matemáticas], donde [matemáticas] p∈Z, q∈N y [/ matemáticas] [matemáticas ] mcd (p, q) = 1 [/ matemáticas].

Esto muestra que [math] p ^ 2 [/ math] es par <=> [math] p [/ math] es par. Entonces podemos escribir [matemáticas] p = 2k [/ matemáticas], donde k [matemáticas] ∈Z [/ matemáticas]

Esto muestra que [matemática] q ^ 2 [/ matemática] es par <=> [matemática] q [/ matemática] es par.

Entonces, hemos podido mostrar que [math] mcd (p, q) = 2 [/ math]

Esto es una contradicción. Por lo tanto, √ [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es irracional.

Prueba por geometría

Método 1 (Pitágoras Theoram)

Suponga, por el contrario, que √ [matemáticas] 2 = a / b [/ matemáticas] para los enteros a, by que esta representación se reduce por completo, de modo que [matemáticas] mcd (a, b) = 1 [/ matemáticas]

Considere el triángulo rectángulo isósceles con longitud de lado b y longitud de hipotenusa a, como en la imagen a continuación. De hecho, según el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es

, ya que √ [matemáticas] 2 = a / b [/ matemáticas]

Si este es un triángulo rectángulo isósceles, entonces hay uno más pequeño con lados enteros

entonces hay uno más pequeño con lados enteros, la misma propiedad

Al girar una pierna b hacia la hipotenusa, como se muestra, vemos que la hipotenusa se puede dividir en partes b, a – b y, por lo tanto, a – b es un número entero. Llame al punto donde las partes y a – b se encuentran con P. Si extendemos una línea perpendicular desde P hasta la otra pata, como se muestra, obtenemos un segundo triángulo rectángulo isósceles más pequeño. Dado que los segmentos PQ y QR están alineados simétricamente (son tangentes al mismo círculo desde el mismo punto), también tienen una longitud igual a a – b. Finalmente, podemos escribir la hipotenusa del triángulo más pequeño como b – (a – b) = 2b -a, que también es un número entero.
Por lo tanto, las longitudes de los lados del triángulo más pequeño son enteros, pero por similitud de triángulos, las relaciones de hipotenusa a longitud lateral son iguales:

, y obviamente de la imagen, el último numerador y denominador son números más pequeños. Por lo tanto, a / b no estaba en los términos más bajos, una contradicción. Esto implica que √2 [matemáticas] [/ matemáticas] no puede ser racional.

Método 2 (Prueba de Stanley Tennenbaum)

Aparentemente, la prueba fue descubierta por Stanley Tennenbaum en la década de 1950, pero John Conway la dio a conocer ampliamente alrededor de 1990. La prueba apareció en el capítulo “El poder de las matemáticas” de Conway del libro Poder, que fue editado por Alan F. Blackwell, David MacKay (2005)

Suponiendo que a ^ 2 = 2 * b ^ 2, con enteros positivos a y b, se puede establecer fácilmente que también (2b − a) ^ 2 = 2 * (a − b) ^ 2. La imposibilidad de la primera radica en el hecho de que a> 2b − a (lo que demuestra que estamos justo al comienzo de un descenso infinito). Esta es una de las pruebas de la irracionalidad de √2

La igualdad crucial (2b − a) 2 = 2 (a − b) 2 podría verificarse mediante álgebra simple; pero también es solo una consecuencia directa del teorema de las alfombras. De modo que la ilustración cae directamente en la categoría de pruebas sin palabras.

Para más consulta:

Raíz cuadrada de 2 – Wikipedia

Irracionalidad de la raíz cuadrada de 2.

Matemáticas en un minuto: la raíz cuadrada de 2 es irracional

La raíz cuadrada de dos es irracional

La irracionalidad de

https://pdfs.semanticscholar.org …

Answer 3

No usaría la palabra simple, porque podría no ser simple para alguien con cero experiencia en la escritura de pruebas, pero hay una prueba muy común. Dice así:

Teorema: [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas] es irracional.

Prueba:

Suponga, a modo de contradicción, que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional.

Entonces existen enteros [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] tal que [matemática] \ sqrt {2} = \ frac {p} {q} [/ matemática], donde [matemática] p [/ math] y [math] q [/ math] no comparten ningún factor. Sabemos que estos enteros existen porque cualquier racional puede representarse por una relación de enteros que son coprimos (no comparten factores).

Cuadrar ambos lados nos da [matemática] 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} [/ matemática] luego multiplicar por [matemática] q ^ 2 [/ matemática] nos da [matemática] 2q ^ 2 = p ^ 2 [/ matemáticas].

La última ecuación nos muestra que [math] p ^ 2 [/ math] es par y eso también hace que [math] p [/ math] sea un número par. Entonces, existe un número entero [math] k [/ math] tal que [math] p = 2k [/ math]. Si lo sustituimos nuevamente en la última ecuación, obtenemos [matemáticas] 2q ^ 2 = 4k ^ 2 [/ matemáticas] y luego dividimos entre [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y usted tiene [matemáticas] q ^ 2 = 2k ^ 2 [/ matemáticas].

Ahora hemos demostrado que [math] q ^ 2 [/ math] es par y eso significa que [math] q [/ math] es par. Esto significa que tanto [math] p [/ math] como [math] q [/ math] se pueden dividir entre [math] 2 [/ math], pero esto contradice el hecho de que no comparten un factor.

Esto significa que [math] \ sqrt {2} [/ math] no puede representarse por la relación de enteros. Por lo tanto, nuestra suposición de que es racional es falsa.

QED

Answer 4

¿Cómo demuestra que la raíz {2} es irracional?

Vamos a generalizar En lugar de [math] \ sqrt {2} [/ math], considere cualquier solución para [math] a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ dots + a_nx ^ 2 = 0 [/ math], donde [math] a_0, a_1 , \ dots, a_n [/ math] son ​​enteros y [math] a_n = 1 [/ math]. Como [math] \ sqrt {2} [/ math] es una solución para [math] x ^ 2 – 2 = 0 [/ math], este es un caso especial.

Mostraré que cualquier solución es un número entero o es irracional. Como [math] 1 <\ sqrt2 <2 [/ math], [math] \ sqrt2 [/ math] no es un entero y, por lo tanto, es irracional.

Supongamos que una solución es [math] \ frac {p} q [/ math], una fracción en sus términos más bajos con [math] q> 1 [/ math]. Sustituya esto en la ecuación y multiplique por [matemáticas] q ^ {n-1} [/ matemáticas]. Esto le da a [matemáticas] a_0q ^ {n-1} + a_1pq ^ {n-2} + a_2p ^ 2q ^ {n-3} + \ dots + a_ {n-1} p ^ {n-1} + \ frac {p ^ n} q = 0 [/ matemáticas]. Todos los términos son enteros, excepto el último, por lo que la suma no puede ser cero.

Esto se basa en un lema que dice que [matemática] q [/ matemática] no divide [matemática] p [/ matemática] tampoco puede dividir [matemática] p ^ n [/ matemática].

Answer 5

Me gusta esta prueba por su visión combinatoria:

Si [math] \ sqrt {2} [/ math] fuera racional, entonces existe una solución para la ecuación, [math] 2q ^ 2 = p ^ 2 [/ math] donde [math] q \ neq 0 [/ math ]

Si [matemática] \ alpha [/ matemática] es la potencia más alta de 2 dividiendo [matemática] p [/ matemática] y [matemática] \ beta [/ matemática] la de [matemática] q [/ matemática], entonces [matemática] 2 \ beta + 1 = 2 \ alpha [/ math] que no tiene ninguna solución integral.

Por lo tanto, [math] \ sqrt {2} [/ math] debe ser irracional.

Nota: Este método se puede ampliar para demostrar que [math] \ sqrt {p} [/ math] es irracional para todos los primos [math] p [/ math].

Answer 6

La respuesta de Kevin es correcta, pero siento que cuando envías a alguien a otra parte para ver una prueba completa, en realidad nunca lo hacen, y eso es una pena en este caso: la irracionalidad de [math] \ sqrt {2} [/ math] es una de las joyas de la corona de la cultura clásica, y como tal constituye una parte importante del derecho de nacimiento de la humanidad. Entonces:

Suponga lo contrario que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional, digamos que

[matemáticas] \ sqrt {2} = \ frac {a} {b} [/ matemáticas]

en los términos más bajos Cuadrando ambos lados de la ecuación, tenemos

[matemáticas] 2 = \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ matemáticas];

multiplicando a través,

[matemáticas] 2 b ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas].

Si a es impar, entonces el lado izquierdo de la ecuación es par y el lado derecho es impar, lo cual es imposible. Si a es par, entonces b debe ser impar (o la fracción [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática] no está en los términos más bajos porque podemos cancelar un dos). En este caso, [matemática] 2b ^ 2 [/ matemática] es par pero no divisible por cuatro, mientras que [matemática] a ^ 2 [/ matemática] es divisible por cuatro. Como se supone que estos dos números son iguales, esto es nuevamente imposible. Por lo tanto, [math] \ sqrt {2} [/ math] debe haber sido irracional todo el tiempo.

Por supuesto, esta prueba se ha presentado en un enfoque teórico numérico más familiar para el público moderno. Los antiguos hacían las cosas geométricamente. Wikipedia tiene una reseña sobre una prueba geométrica que también vale la pena leer para los interesados:

Raíz cuadrada de 2

Se necesita un poco más de trabajo para seguir este argumento, pero recomiendo encarecidamente que los jóvenes interesados ​​en las matemáticas lo hagan de todos modos, ya que la recompensa excede el costo.

Answer 7

Prueba estándar: supongamos, en cambio, que fuera racional; let [math] \ displaystyle \ sqrt {2} = \ frac ab [/ math], donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​enteros con [math] \ gcd (a, b ) = 1 [/ matemáticas].

Luego tenemos que [math] \ displaystyle 2 = \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ math], o [math] a ^ 2 = 2b ^ 2 [/ math]. Esto significa que [matemáticas] 2 | a ^ 2 [/ matemáticas], que significa [matemáticas] 2 | a [/ matemáticas].

Pero luego [matemáticas] 4 | a ^ 2 [/ matemáticas], de donde [matemáticas] 2 | b ^ 2 [/ matemáticas] y así [matemáticas] 2 | b [/ matemáticas]. Pero esto contradice el hecho de que [math] \ gcd (a, b) = 1 [/ math], ya que [math] 2 [/ math] ahora es un factor común.

Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, por lo que [math] \ sqrt {2} [/ math] no es racional.

[Como de costumbre, los detalles de la prueba se dejan al lector.]

Answer 8

Básicamente, si [math] \ sqrt {2} [/ math] NO fue irracional, entonces debe ser la razón de dos números enteros relativamente primos p y q. En otras palabras, [math] \ sqrt {2} = \ frac {p} {q} [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] 2 = \ frac {p ^ {2}} {q ^ {2}} [/ matemáticas] y [matemáticas] 2p ^ {2} = q ^ {2} [/ matemáticas]. Se deduce que q debe ser par. Como decidimos que p y q son relativamente primos, entonces p debe ser impar si [math] \ sqrt {2} [/ math] era racional.

Sin embargo, si sustituimos 2a por q obtenemos [matemáticas] 2p ^ {2} = 4a ^ {2} [/ matemáticas], o [matemáticas] p ^ {2} = 2a ^ {2} [/ matemáticas]. Entonces … p es par? UH oh. Ahí vamos, para cualquier par de números p y q que formarían la razón ( ratio nal) de [math] \ sqrt {2} [/ math], de hecho no son una razón, lo que significa que tenemos una contradicción.

Como ninguna proporción p y q puede expresar [math] \ sqrt {2} [/ math] irreductiblemente, [math] \ sqrt {2} [/ math] debe ser irracional.

Esto se llama prueba de descendencia infinita, más información aquí: raíz cuadrada de 2

Answer 9

Bueno, como primer paso, consideremos la definición de irracional:

Un número irracional es un valor que tiene un decimal que nunca se repite y nunca termina.

El número Pi es un excelente ejemplo con un decimal que nunca se repite (hasta donde sabemos) y nunca termina, es interminable:

Aquí hay algunos dígitos de Pi:

3. …

No me creas Vea el primer millón de dígitos de pi en One Million Digits of Pi

Sin embargo, espero que me creas.

De todos modos, avanzando, estamos examinando si la raíz cuadrada de 2 es irracional y debemos demostrarlo de alguna manera. ¿Es esto correcto?

Esto se puede hacer de varias maneras; personalmente, como miembro de la sociedad moderna, usaré un dispositivo llamado calculadora, que realiza varios cálculos precisos.

Entonces comienzo a ingresar la raíz cuadrada de 2 en mi calculadora y presiono enter, que se evalúa para este número:

1.41421356237 …

Puedo ver que este decimal nunca se repite y continúa para siempre y, por lo tanto, por inducción, puedo suponer que este número es irracional por la definición de números irracionales.

Este es el primer método (y probablemente el más simple) que se me ocurrió.

Por otro lado , podría intentar probar este fenómeno dando una especie de explicación (¡sin una calculadora!):

Puedes comenzar con algo como esto:

1. La raíz cuadrada de 4 es 2 (sí, también es -2, pero las matemáticas generalmente han acordado que la raíz cuadrada de un número positivo es igual al resultado positivo)

2. ¿Por qué? Porque podemos leer el problema de esta manera: qué número, si se multiplica por sí mismo dos veces, va a 4. La respuesta es, por lo tanto, 2 porque 2 va a 4 exactamente dos veces.

3. Por lo tanto, podemos establecer una regla general de que el número que tiene “raíz cuadrada” debe ser mayor que el resultado de la raíz cuadrada. (es decir, 4 es mayor que 2 y 2 es el resultado)

4. Pero, considerando la raíz cuadrada de 2, solo pensando lógicamente, ningún entero no puede caber en 2 si es cuadrado. Además, ningún entero menor que 2 puede, si está al cuadrado, posiblemente igual a 2. (Los únicos enteros positivos posibles (la raíz cuadrada, dijimos) deben tener un resultado positivo, por eso estoy examinando enteros positivos: menos de 2 son 1 y 0; tampoco hay enteros negativos que funcionen)

5. Por lo tanto, el resultado de la raíz cuadrada de 2 es un decimal.

6. Trabajando a partir de la declaración anterior, la respuesta debe estar entre 1 y 2 (dado que 1 ^ 2 es 1 y 2 ^ 2 es 4. Debido a que 2 es mayor que 1 y menor que cuatro, la raíz cuadrada de 2 es mayor que 1 y menos de 2)

7. Entonces, desde aquí, podríamos aproximar los siguientes valores decimales. Sabemos por la declaración anterior que la respuesta de la raíz cuadrada de 2 debe ser

1. _ _ _ _ _….

Tratando de aproximarnos al décimo lugar:

Si intentamos 1.5 ^ 2, obtenemos un resultado mayor que 2, que es 2.25

Si intentamos 1.4 ^ 2, obtenemos un valor menor que 2, que es 1.96.

Por lo tanto, el siguiente dígito es 5! Pero aún no hemos terminado, porque no obtuvimos 2

Podrías seguir y tratar de aproximarte al centésimo lugar:

Si intentamos 1.45 ^ 2, obtenemos 2.1025

Si intentamos 1.44 ^ 2, obtenemos 2.0376

Acercarse…

Si intentamos 1.43 ^ 2, obtenemos 2.0449

Si intentamos 1.42 ^ 2, obtenemos 2.0164

Bien, veamos si 1.41 ^ 2 funciona: ¡obtenemos 1.9881! ¡Funciona!

Conclusión: Imagina hacer este proceso infinitamente: sigues obteniendo valores más cercanos a 2 pero todavía no 2. Tus dígitos después del decimal se nunca terminan. Además, los dígitos no se repiten y, por inducción matemática, podemos suponer que el decimal nunca se repite porque necesitamos “dígitos óptimos” que, si el número es cuadrado, haría que el número sea más cercano a 2 pero aún menor que 2. Debido a que el número siempre es menor que 2 cuando repite los pasos, puede suponer que necesita una cantidad infinita de ellos, por lo que es un número irracional.

Answer 10

La siguiente es una prueba simple usando el método de reducción ad absurdum :

Primero suponga que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional y [math] \ frac {p} {q} [/ math] es su forma reducida. Por lo tanto, podemos decir que [matemáticas] \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} = (\ frac {p} {q}) ^ 2 = \ sqrt {2} ^ 2 = 2 [/ matemáticas]. [matemática] \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} = 2 [/ matemática] es equivalente a [matemática] p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ matemática]. Debido a que [math] p [/ math] y [math] q [/ math] y, por extensión, sus cuadrados, son números naturales, [math] p ^ 2 [/ math] debe, como el doble de un número natural , sea par, y entonces, entonces, debe [math] p [/ math]. Por lo tanto, existe un número natural [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] p = 2k [/ matemática]. Si volvemos a conectar esto a [matemáticas] 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] 2 = \ frac {(2k) ^ 2} {q ^ 2} = \ frac {4k ^ 2} {q ^ 2} [/ matemáticas], de lo que se deduce que [matemáticas] 2q ^ 2 = 4k ^ 2 [/ matemáticas] y que [matemáticas] q ^ 2 = 2k ^ 2 [/ matemáticas]. [matemática] q ^ 2 [/ matemática], y por lo tanto [matemática] q [/ matemática], debe ser par. Sin embargo, para que [math] q [/ math] y [math] p [/ math] sean iguales, inicialmente no deben reducirse, lo que lleva a una contradicción con las definiciones de [math] p [/ math] y [math] q [/ math] como numerador y denominador, respectivamente, de la forma reducida de [math] \ sqrt {2} [/ math]. Por lo tanto, nuestra suposición inicial (que [math] \ sqrt {2} \ in {\ Q} [/ math]) conduce a una contradicción y debe ser falsa.

Answer 11

La forma más fácil es intentar ver si √2 se puede representar en forma a / b donde a y b son números enteros yb no es igual a cero. Aquí en el caso de √2 no se puede representar de esa forma. A continuación se muestra la explicación detallada.

---

Supongamos que √2 es un número racional. Entonces podemos escribirlo √2 = a / b donde a, b son números enteros, b no cero.

Además, suponemos que este a / b se simplifica a los términos más bajos, ya que eso obviamente se puede hacer con cualquier fracción. Tenga en cuenta que para que a / b esté en términos más simples, tanto a como b no pueden ser pares. Uno o ambos deben ser impares. De lo contrario, podríamos simplificar aún más.

De la igualdad √2 = a / b se deduce que 2 = a2 / b2, o a2 = 2 · b2. Entonces el cuadrado de a es un número par ya que es dos veces algo.

De esto sabemos que un sí mismo es también un número par. ¿Por qué? Porque no puede ser extraño; si aa en sí fuera extraño, entonces a · a también lo sería. Número impar multiplicado por número impar siempre es impar. ¡Compruébalo si no me crees!

De acuerdo, si un sí mismo es un número par, entonces a es 2 veces algún otro número entero. En símbolos, a = 2k donde k es este otro número. No necesitamos saber qué es k; No importará. Pronto viene la contradicción.

Si sustituimos a = 2k en la ecuación original 2 = a2 / b2, esto es lo que obtenemos:

2 = (2k) 2 / b22 = 4k2 / b22 * b2 = 4k2b2 = 2k2

Esto significa que b2 es par, de lo que se deduce que b es par. ¡Y eso es una contradicción!

¿Por qué es eso una contradicción? Porque comenzamos todo el proceso asumiendo que a / b se simplificó a los términos más bajos, y ahora resulta que a y b serían iguales. Terminamos en una contradicción; por lo tanto, nuestra suposición original (que √2 es racional) no es correcta. Por lo tanto, √2 no puede ser racional.

Answer 12

Usando prueba por contradicción.

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Asuma que [math] \ sqrt {2} [/ math] es un número racional.

Un número racional se puede definir como un número que se puede definir en la forma [math] \ dfrac {p} {q} [/ math] donde [math] q \ neq 0 [/ math] y [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son ​​relativamente primos, y [math] p, q \ in \ mathbb {I} [/ math].

Por nuestra suposición, [math] \ sqrt {2} [/ math], si racional se puede definir como:

[matemáticas] \ dfrac {p} {q} = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Cuadrando ambos lados,

[matemáticas] \ dfrac {p ^ 2} {q ^ 2} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2q ^ 2 [/ matemáticas] es par, y por lo tanto, incluso [matemáticas] p ^ 2 [/ matemáticas] es par, y por lo tanto, [matemáticas] p [/ matemáticas] es par.

Deje [math] p = 2 a [/ math], donde, [math] a \ in \ mathbb {I} [/ math]

Sustituyendo el valor de [math] p [/ math],

[matemáticas] 4 a ^ 2 = 2 q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 a ^ 2 = q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 a ^ 2 [/ matemáticas] es par. Por lo tanto, incluso [matemáticas] q ^ 2 [/ matemáticas] es par, y por lo tanto, [matemáticas] q [/ matemáticas] es par.

Según nuestra prueba, [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] son ​​pares. Pero, dos números pares no pueden ser relativamente primos. Esto contradice nuestra suposición original de que [math] \ sqrt {2} [/ math] es un número racional dado como [math] \ dfrac {p} {q} [/ math] donde, [math] q \ neq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] y [matemáticas] p [/ matemáticas] son relativamente primos.

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Así, por prueba por contradicción, podemos decir que [math] \ sqrt {2} [/ math] no es un número racional.

Answer 13

No, la fracción continua para [math] \ sqrt2 [/ math] es [1: 2, 2, 2, 2, 2, …]. Vea la siguiente ilustración de esto en Wikipedia: raíz cuadrada de 2

No se puede expresar con una fracción continua finita, mientras que todos los números racionales sí.

Answer 14

rt2 se puede mostrar como a / b , donde a no tiene factores comunes con b , y b es al menos 1.

Multiplique cada lado por b para que rt2 * b = a .

Cuadrado.

2b ^ 2 = a ^ 2

2b ^ 2 es par y a ^ 2 también debe serlo. a es igual que su cuadrado como par * par = par.

Reemplace a con 2k . a ^ 2 , que es igual a 4k ^ 2 , es divisible por 4 y también lo es 2b ^ 2 . Cualquier cosa divisible por un número par es automáticamente par. (2b ^ 2) / 4 = (b ^ 2) / 2

Esto significa que b debe ser par; b ^ 2 es par y su surd debe ser par.

¿Pero no juramos que a no tiene nada en común con b ? ¡Las declaraciones anteriores sugieren que son divisibles por 2! ¡Qué paradoja!

La posibilidad de que rt2 sea ​​racional ha sido destruida.

Answer 15

[matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas] es irracional. Algunas pruebas emplean los siguientes enfoques:

• descenso infinito
• factorización única
• brújula y geometría de regla
• análisis de límites

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Squ … para pruebas completas.

Answer 16

Método 1)

Si tomamos el ejemplo de 1/2 = 0.5 se termina.

Si tomamos el ejemplo de 2/3 = 0.6666 … nunca termina pero aun así se repite.

Pero … si tomas el valor numérico de √2 = 1.41421356 … No tiene final ni se repite. En otras palabras, es irracional.

Método 2)

Sabemos que para un número la raíz cuadrada del cuadrado de ese número es el mismo número Ie

(√x) ² = x.

Pero si tomas √2 = 1.4142135627

Y lo elevará al cuadrado … obtendrás 1.99999 … y no exactamente 2. Entonces √2 es un número irracional. En caso de √9 = 3. √9 es racional … porque si cuadras ambos lados y arraigas en ambos lados … obtienes 3 en el lado derecho.

Para concluir, los números irracionales son interminables y no repetitivos.

π, √2, ³√7, e son algunos números irracionales.

¡Espero que te ayude!

Las correcciones son bienvenidas !!

Todo lo mejor .. ¡Feliz aprendizaje!

Answer 17

Es fácil. Pero depende del conocimiento previo con el que tenga que trabajar.

¿Conoces el teorema fundamental de la aritmética?

En ese caso, suponga que la raíz cuadrada de 2 es un número racional, [matemática] x = \ frac {a} {b} [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática ] son ​​enteros.

Ahora desde

[matemáticas] x ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

tenemos

[matemáticas] a ^ 2 = 2 \ cdot b ^ 2 [/ matemáticas]

Pero la factorización prima del lado izquierdo tendrá un poder uniforme de cada factor primo. Pero el lado derecho tendrá una potencia extraña del factor primo 2.

Entonces no pueden ser iguales.

Answer 18

Aquí hay una prueba (atribuida a Pitágoras).

Suponga que √2 es racional: √2 = a / b , donde a y b son enteros positivos y la fracción es irreducible.

Entonces [matemáticas] a ^ 2 = 2b ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces a es par como su cuadrado es par. Deje a = 2 c .

Entonces [matemáticas] a ^ 2 = 2b ^ 2 = 4c ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces b es par, también.

Contradicción.

Answer 19

La gente de math.stackoverflow tiene una buena explicación para demostrar la irracionalidad de los números.
Prueba de irracionalidad

En resumen, los antiguos griegos demostraron que la raíz cuadrada de 2 es irracional a modo de contradicción:
Cualquier número real se puede representar en forma fraccionaria.
R = A / B
Si un número no puede representarse en forma fraccionaria, entonces es un número irracional.
Juguemos esto.

sqrt (2) = A / B

Cuadrado a ambos lados:
2 = (A ^ 2) / (B ^ 2)

Balance adicional:
2 (B ^ 2) = A ^ 2

Dado que 2 (B ^ 2) siempre es un número par (si desea saber por qué, haga otra pregunta), A ^ 2 también debe ser par.

Dos números pares divididos entre sí siempre producen un número entero.
No existe tal combinación, por lo tanto => sqrt (2) es irracional

Answer 20

Tenemos que demostrar que √2 es un número irracional. Supongamos que es un número racional, es decir, existen enteros pyq que no tienen un factor común tal que
√2 = p / q => p ^ 2 = 2q ^ 2 => p ^ 2 es un número par. Solo es posible cuando p es par. Si p = 2m, entonces 2q ^ 2 = 4m ^ 2.
Por lo tanto, q ^ 2 es par, es decir, q es par. No puede ser posible ya que p y q no tienen un factor común.
Por lo tanto, nuestra suposición de que √2 es racional es incorrecta. Por lo tanto, √2 es un número irracional.