En álgebra abstracta, ¿cuáles son algunos ejemplos del mundo real de grupos no belgas?

Answer 1

Coloque tres objetos en una fila: un lápiz, un tenedor, un tomate.

Intercambia los dos objetos más a la izquierda. Luego intercambie los más a la derecha. Ahora tienes: tenedor, tomate, lápiz.

Comience de nuevo: lápiz, tenedor, tomate. Intercambie los más a la derecha primero, luego los izquierdos. Ahora ves: tomate, lápiz, tenedor.

Eso es todo: el grupo de reordenamientos de tres objetos no es conmutativo.

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Toma un zapato. Sostenlo en tus manos, en posición vertical, como lo harías normalmente. Digamos que apunta al norte.

Ahora gírelo hacia la izquierda un cuarto de vuelta para que siga en posición vertical pero apuntando hacia el oeste en lugar de hacia el norte. Luego gírelo un cuarto de vuelta hacia abajo para que la punta del zapato quede hacia el piso. Mientras lo haces, observa los ejes de rotación: las líneas imaginarias sobre las que giras el espectáculo. El primer eje atraviesa el zapato desde el piso hasta el techo. El segundo es horizontal, de norte a sur.

Comenzar de nuevo. Primero gire el zapato un cuarto de vuelta alrededor del eje norte-sur; todavía está apuntando hacia el norte pero está acostado de lado. Luego gírelo hacia la izquierda para que la punta mire hacia el oeste en lugar de hacia el norte.

¿Se ve igual que antes? No, no lo hace. Pero lo que hicimos fueron las mismas dos rotaciones en secuencia, solo en un orden diferente. Por lo tanto, el grupo de rotaciones en el espacio no es conmutativo.

Un obstáculo psicológico aquí es que las rotaciones están bloqueadas a un sistema global de ejes, no al sistema local del zapato. Los niños pueden protestar porque la primera rotación en la segunda secuencia es diferente de lo que hiciste antes: deberías haber girado el zapato hacia abajo. Es importante explicar cómo el zapato es solo un objeto en el espacio, y estamos imaginando que todo el espacio gira.

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Toma un cubo de Rubik resuelto. Gire la cara superior y luego la izquierda. Deshacer. Ahora gire el izquierdo primero y luego el superior. ¿Recibiste lo mismo?

Answer 2

Buenas respuestas hasta ahora. Pero la importancia de la no conmutatividad parece algo incidental. Quiero decir, claro, voltear un cuadrado y luego rotarlo no es lo mismo que rotar y luego voltearlo. ¿Pero el mundo realmente explotaría si fueran lo mismo? Nada sobresale y dice “¡Oh, no! ¡Si es conmutativo, nada funcionará!

Así que aquí hay un ejemplo, al menos en mi opinión. Vayamos con el grupo libre en dos letras, [math] F_2 [/ math]. Llame a las letras, sugestivamente, “1” y “0.” (El grupo en sí, obviamente, también tiene inversas. Esto hace que mi notación sugerente parezca un poco divertida: [matemáticas] 1 ^ {- 1} [/ matemáticas] es diferente de 1, y [matemática] 0 ^ {- 1} [/ matemática] es una cosa. Pero por el momento toleremos cortésmente ese aspecto desafortunado de nuestra notación, ya que realmente no necesitamos inversas a dónde vamos …)

El grupo [math] F_2 [/ math] incluye todas las cadenas de 1 y 0 de cualquier longitud finita. La operación de grupo consiste en concatenar las cadenas y golpear cualquier instancia de [math] xx ^ {- 1} [/ math] o [math] x ^ {- 1} x [/ math] para [math] x [/ math ] es igual a 0 o 1. Claramente, esto no es conmutativo: tome 0 y 1. Concatenelos en un orden, obtendrá 01; en el otro orden, obtienes 10.

El grupo libre en dos letras es un lugar natural para representar información. Por ejemplo, ASCII nos ayuda a traducir la información expresada en inglés al [math] F_2 [/ math] -land:

Esto hace un muy buen trabajo. Con 8 bits, podemos representar 128 caracteres.

Pero, ¿qué pasaría si [math] F_2 [/ math] fuera conmutativo? Entonces 10001000 = 11000000 = {cualquier otra cadena con exactamente dos 1’s y seis 0’s}. En particular, 8 bits solo le permite representar 9 caracteres:

00000000

10000000

11000000

11100000

11110000

11111000

11111100

11111110

11111111

Abucheo. Eso apesta. Lo bueno es que [math] F_2 [/ math] no es conmutativo.

Answer 3

Considere su estado de vestimenta bajo el cambio de “estado de uso” de las prendas de vestir en su armario.

Podríamos construir el grupo y su acción como módulo de suma 2 de vectores con entradas [math] 0 [/ math] o [math] 1 [/ math] en el espacio indexado por elementos en su guardarropa. Cada vector representa un estado de vestimenta, y la adición de dos vectores es un cambio de estado.

Por ejemplo, en un armario que consiste solo en [matemáticas] \ {\ mathrm {shirt}, \, \ mathrm {pants} \} [/ math], estarías desnudo si tu estado fuera [math] [0,0] [/ math] y tan completamente vestido como sea posible (dado el vestuario) con el estado [math] [1,1] [/ math]. Dado el último estado, se quitaría la camisa realizando la acción [matemáticas] [1,1] + [1,0] [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas]. El elemento de identidad es obviamente [matemáticas] [0,0] [/ matemáticas]. Claramente, los elementos del grupo son involuciones bajo la acción del grupo.

Obviamente, estamos asumiendo que cualquier elemento puede eliminarse de cualquier otro elemento, lo que a menudo es posible topológicamente (si no prácticamente). Además, usar tu guardarropa completo podría ser malo para tu salud, como descubrió un cierto miembro de la banda de chicos cuando volaba largas distancias en algún momento en los últimos años.

Ahora supongamos que queremos hacer que este modelo sea un poco más sofisticado para incluir capas “correctamente”. La estructura que representa su estado de vestimenta se volvería un poco más complicada (como lo haría la acción grupal), pero puede imaginar claramente que cualquier cambio de estado todavía representa un estado de vestimenta, todavía hay una identidad y cada elemento del estado tiene Un inverso. Esencialmente, la nueva acción incluiría cambiar el orden de las capas, así como ponerlas o quitarlas, por lo que estarías jugando con permutaciones bastante, y el grupo sería muy grande si tuvieras solo unas pocas prendas de vestir que posiblemente puedas poner en capas.

Ahora, a menos que tenga como máximo una prenda de vestir que se pueda colocar en capas en cada parte de su cuerpo, los grupos de permutación deben ser del orden de al menos 3 y, por lo tanto, no ser abelianos, lo que lleva a la siguiente observación:

Si te pones los calzoncillos antes de ponerte los pantalones, eres un simple Joe en la calle.

Si te pones los calzoncillos después de los pantalones, pareces un superhéroe.

Answer 4

La teoría cuántica del electromagnetismo (QED) es una teoría de calibre abeliana (el grupo de simetría es U (1), tiene un generador que es el fotón).

Pero la teoría de las interacciones fuertes (QCD) y las interacciones débiles son de naturaleza no abeliana. Las interacciones fuertes están mediadas por el intercambio de gluones (el grupo involucrado es SU (3), hay 8 gluones que son los 8 generadores de SU (3), en términos generales). Y las interacciones igualmente débiles tienen SU ​​(2) (los 3 generadores son bosones de vector intermedio W +, W-, Z).

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(Resumen) El álgebra es muy útil en física teórica, que ES la descripción de este “mundo real”.

Answer 5

Ok, un grupo abeliano es un grupo [matemática] G [/ matemática], donde [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​pares de componentes dentro de [matemática] G [/ matemática]:

[matemáticas] x, y \ en G [/ matemáticas]

[matemáticas] \ forall \ x, y \ \ rightarrow \ xy = yx [/ math]

Esto significa que los elementos de este grupo viajan . La comunidad es uno de los axiomas que se utiliza para definir grupos, y todos los grupos abelianos se clasifican bajo este axioma, mientras se obedecen los otros axiomas que definen grupos.

Un grupo no abeliano es un grupo que no conmuta. Uno de los mejores ejemplos que se me ocurren es un grupo diédrico, [math] D_n [/ math], que se puede visualizar como las rotaciones y el eje simétrico de una forma, digamos un cuadrado. Podemos aplicar una rotación, y luego girar a lo largo de un eje, y luego comparar eso con la situación en la que íbamos a girar a lo largo del eje, y luego rotar. Podemos ver que estos dos escenarios no siempre terminan en el mismo lugar, por lo tanto, este grupo diédrico no es abeliano.

Answer 6

El grupo de permutación [matemática] S_n: n \ geq 3 [/ matemática], el grupo SL (n) de matrices invertibles [matemática] n \ veces n [/ matemática], el grupo de rotaciones en dimensiones superiores (sobre diferentes ejes)

Answer 7

Tome movimientos rígidos, los componimos de la manera habitual: a * b significa primero hacer a, luego b.

Considere: a = un paso adelante. b = cara derecha (un cuarto de vuelta en sentido horario).

Claramente, “un paso adelante y luego una cara derecha” no es lo mismo que “cara derecha y luego un paso adelante”.

Answer 8

El conjunto de todas las acciones biyectivas en un objeto en un espacio bidimensional o tridimensional. El mejor ejemplo de acciones no conmutativas en su cuerpo es ponerse los calcetines y los zapatos. El orden en que se hacen es importante. Ponerse los calcetines y la camisa es un ejemplo de acciones conmutativas. Puedes hacerlos en cualquier orden.

Answer 9

Las rotaciones y las traducciones no se conmutan. Si lo hicieran, conducir sería mucho más fácil.

Answer 10

¡Los grupos diédricos son un conjunto increíblemente visual de grupos no belgas!

Answer 11

Lo primero que pensé fue el grupo de todos los movimientos del Cubo Rubik. Además, al mover satélites, el anillo de los cuaterniones es muy útil, por lo que es un grupo multiplicativo.