Las otras respuestas lo entendieron parcialmente, pero creo que hay algo crucial que están pasando por alto. Aquí está la solución completa (y matemáticamente rigurosa).
Tenemos un sistema no lineal de solo cinco ecuaciones para seis incógnitas diferentes. Convertirlo en un sistema lineal sería bueno, y también lo tendrá tener un sistema con el mismo número de ecuaciones que incógnitas .
El problema de sumar las ecuaciones es que la nueva ecuación que obtenemos no es linealmente independiente del resto de las ecuaciones. Creo que la forma correcta de resolverlo, que también está fuertemente insinuada por el hecho de que [matemáticas] x [/ matemáticas] es la única incógnita que aparece en cada ecuación, sería tratar a [matemáticas] x [/ matemáticas] como un parámetro constante y obtenga soluciones para [math] x_1, \ ldots, x_5 [/ math] en términos de este parámetro.
Reemplacemos [math] x [/ math] por [math] A [/ math], para dejar en claro que es un parámetro constante (y también para que las ecuaciones sean más ordenadas). Obtenemos el siguiente sistema lineal de 5 ecuaciones en 5 incógnitas :
- En álgebra abstracta, ¿cuáles son algunos ejemplos del mundo real de grupos no belgas?
- ¿Cuál es la función inversa de g (x) = 5 ^ (x + 2)?
- ¿Cuál es una explicación intuitiva de por qué la multiplicación de números reales es conmutativa?
- Álgebra: ¿Cómo se ve la gráfica de algo como x ^ y = 5?
- Supongamos que sabemos que f (x) es continua y diferenciable en todas partes. Supongamos también que sabemos que f (x) tiene dos raíces. Demuestre que f ‘(x) debe tener al menos una raíz. Entiendo lo que requiere este problema, pero ¿cómo puedo expresar una respuesta completa? ^^ ‘…
[matemáticas] x_ {1} – Hacha_ {2} + x_ {3} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {3} – Hacha_ {4} + x_ {5} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {2} – Hacha_ {3} + x_ {4} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {1} + x_ {4} – Hacha_ {5} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] – Ax_ {1} + x_ {2} + x_ {5} = 0 [/ matemáticas]
La matriz que corresponde al sistema es:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {ccccc}
1 & -A & 1 & 0 & 0 \\
0 y 0 y 1 y -A y 1 \\
0 y 1 y -A y 1 y 0 \\
1 y 0 y 0 y 1 y -A \\
-A y 1 y 0 y 0 y 1
\ end {array} \ right) [/ math]
Su determinante es
[matemáticas] A ^ 5 – 5A ^ 3 + 5A – 2 [/ matemáticas]
Como es un polinomio de orden 5 , hay como máximo 5 valores de [matemáticas] A [/ matemáticas] que establecen el determinante en cero. Dos de los valores tienen una multiplicidad de 2, por lo que en realidad solo hay 3 soluciones distintas . Puede calcularlos fácilmente para que sean:
[matemáticas] A = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] A = – \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] A = – \ frac {1- \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que las dos últimas soluciones son (menos) la proporción áurea y (menos) el conjugado proporción áurea, respectivamente.
Las soluciones para [matemáticas] A [/ matemáticas] que corresponden a un determinante cero hacen que el sistema sea singular . Entonces, solo para estos valores, el sistema tiene soluciones no triviales. Para cualquier otro valor de [math] A [/ math], el sistema es regular y la única solución es la solución trivial [math] x_1, \ ldots, x_5 = 0 [/ math].
Ahora es solo cuestión de conectar los tres valores de [math] A [/ math] que dan soluciones no triviales y las calculan. Para la solución más simple, [matemática] A = 2 [/ matemática], la matriz es de rango 4 , por lo que habrá una variable libre de la que deben depender las otras 4 variables. Para las otras dos soluciones para [math] A [/ math], la matriz es de rango 3 (porque su multiplicidad es 2), por lo que habrá dos variables libres de las cuales las otras 3 variables deben depender.
En conclusión, el conjunto completo de soluciones es el siguiente:
1)
[math] A = 2 [/ math] y [math] x_1, \ ldots, x_4 [/ math] pueden expresarse como funciones de [math] x_5 [/ math] (por ejemplo). La solución general resulta ser:
[matemáticas] x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 [/ matemáticas]
2)
[matemáticas] A = – \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas] yy [matemáticas] x_1, x_2, x_3 [/ matemáticas] pueden expresarse como funciones de [matemáticas] x_4, x_5 [/ math] (por ejemplo). La solución general resulta ser:
[matemáticas] x_1 = – \ frac {1} {2} (2x_4 + (1+ \ sqrt {5}) x_5) [/ matemáticas],
[matemáticas] x_2 = \ frac {1} {2} ((1+ \ sqrt {5}) x_4 + (1+ \ sqrt {5}) x_5) [/ matemáticas],
[matemáticas] x_3 = – \ frac {1} {2} ((1+ \ sqrt {5}) x_4 + 2x_5) [/ matemáticas].
3)
[matemáticas] A = – \ frac {1- \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas] yy [matemáticas] x_1, x_2, x_3 [/ matemáticas] pueden expresarse como funciones de [matemáticas] x_4, x_5 [/ math] (por ejemplo). La solución general resulta ser:
[matemáticas] x_1 = – \ frac {1} {2} (2x_4 + (1- \ sqrt {5}) x_5) [/ matemáticas],
[matemáticas] x_2 = \ frac {1} {2} ((1- \ sqrt {5}) x_4 + (1- \ sqrt {5}) x_5) [/ matemáticas],
[matemáticas] x_3 = – \ frac {1} {2} ((1- \ sqrt {5}) x_4 + 2x_5) [/ matemáticas].
(Como era de esperar, hay una simetría muy obvia entre este y el conjunto anterior de soluciones).
4)
[matemática] A [/ matemática] es igual a cualquier otro valor, en cuyo caso la única solución es la solución trivial, [matemática] x_1, \ ldots, x_5 = 0 [/ matemática].
