¿Cuál es una explicación intuitiva de por qué la multiplicación de números reales es conmutativa?

Answer 1

Mi manera de visualizar la multiplicación es el área de un rectángulo, como mencionó Ross, así que estoy de acuerdo con su respuesta. Creo que la forma en que funciona la intuición para la mayoría de las personas es que tienes algunos ejemplos estándar o alguna imagen en mente, y esa es tu representación básica de una idea abstracta. Entonces, el área de un rectángulo es lo concreto que visualizo, y representa la idea abstracta de la multiplicación.

Para ver si la multiplicación es conmutativa, simplemente pruebe si las áreas son conmutativas, como describió Ross. En general, cuando desea conocer alguna propiedad de una idea abstracta, toma sus ejemplos estándar como casos de prueba. Destroza la propiedad contra los casos de prueba. Si es válido para todos, es intuitivo. Si luego descubre que algo pasó todos sus casos de prueba pero no es cierto, debe agregar un nuevo elemento a su estable de ejemplos estándar para que tenga más casos de prueba y no se tropiece la próxima vez.

Para los números reales, además del rectángulo, otra imagen que tengo es la más matemática que están metidos en estos pequeños agujeros entre los números racionales, y los números racionales aparecen y se colocan justo al lado de los números reales.

La multiplicación de números racionales es conmutativa. Eso significa que si toma dos números reales y los multiplica, el producto se aproxima arbitrariamente bien al multiplicar algunos números racionales. Como el orden de los números racionales no importa, el orden de los números reales no importa.

Para realmente explicar esto, tiene números reales [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]. Se aproximan mediante una secuencia de números racionales [matemática] a_1, a_2, a_3 \ ldots [/ matemática] y [matemática] b_1, b_2, b_3 \ ldots [/ matemática] Entonces

[matemáticas] ab = \ lim (a_1b_1, a_2b_2, \ ldots) [/ matemáticas]

mientras

[matemáticas] ba = \ lim (b_1a_1, b_2a_2, \ ldots) [/ matemáticas]

pero las dos secuencias en el lado derecho son iguales entre sí, por lo que deben converger al mismo número. Estoy usando deliberadamente la notación de mierda porque se supone que dice aproximadamente lo que tengo en mente.

Cuando todo ese último párrafo sobre las secuencias y los números racionales conmutativos que se acumulan contra los reales se comprime en tu cerebro en una pequeña imagen de algunos puntos cada vez más cerca uno del otro, y esa imagen te deja claro lo que está sucediendo, eso es lo que pienso como intuición matemática.

Otra imagen que tengo para la multiplicación es el ideal de la escala. Como en, multiplicar por [matemáticas] x [/ matemáticas] significa hacer algo [matemáticas] x [/ matemáticas] veces más grande. Entonces, si haces algo [matemático] x [/ matemático] veces más grande, entonces haz que [matemático] y [/ matemático] sea tan grande, ¿obtienes el mismo resultado que si primero lo hicieras [matemático] y [/ matemáticas] veces más grande, entonces [matemáticas] x [/ matemáticas] veces más grande? Sí, creo que es lo suficientemente intuitivo.

Entonces, la intuición para mí es solo tomar algo y romperlo contra todos los casos de prueba que ha almacenado en caché. Cuantos más casos de prueba tenga, más fuerte será su intuición.

Luego puedes intentar convertir tu intuición en una prueba. Aquí hay un buen ensayo sobre la conmutatividad de la multiplicación de Timothy Gowers: La conmutatividad de la multiplicación.

Answer 2

Deje que ayb sean positivos. Piense en a * b como el área de un rectángulo con ancho ay altura b. Si gira el rectángulo 90 grados, el área no cambia, pero ahora el ancho es b, y la altura es a. Entonces, a * b = área del rectángulo = área del rectángulo girado = b * a.

Supongo que puedes tratar los negativos con una pequeña extensión de esta lógica.

Answer 3

Tome cualquier matriz ([matemática] A [/ matemática]) (rango [matemática] m \ veces n [/ matemática]).
Digamos, Número de elementos = Número de filas * Número de columnas.
[math] A [/ math] tiene [math] m [/ math] filas [math] n [/ math] columnas y [math] m \ times n [/ math] elementos.
Tome su ‘transposición.
[matemática] A ^ T [/ matemática] tiene [matemática] n [/ matemática] filas [matemática] m [/ matemática] columnas [matemática] n \ veces m [/ matemática] elementos.
No agregó ni eliminó ningún elemento al realizar la transposición.
Simplemente intercambiaste filas con columnas.
así [matemáticas] n \ veces m = m \ veces n [/ matemáticas]
De una manera menos intuitiva:
[matemáticas] (a + b) = (b + a) [/ matemáticas]
[matemáticas] (a + b) ^ 2 = (b + a) ^ 2 [/ matemáticas], ([matemáticas] x ^ 2 = x \ veces x [/ matemáticas])
[matemáticas] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = b ^ 2 + 2ba + a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] ab = ba [/ matemáticas]

Answer 4

No creo que haya ninguna explicación intuitiva. Los números reales se construyen a partir de axiomas matemáticos, y una forma de definirlo es como el campo ordenado único completo de Dedekind, hasta el isomorfismo (por supuesto, todas esas definiciones son en última instancia equivalentes). Un campo tiene por definición una operación llamada ‘multiplicación’ que es conmutativa. Entonces, la conmutatividad de la multiplicación es una parte integral del concepto de ‘números reales’: si no tienes conmutatividad de la multiplicación, entonces no estás tratando con los números reales.

Cualquier intuición que tenga del mundo físico también es engañosa: modelamos varias cantidades en el mundo real usando números reales porque esas cantidades tienen una propiedad conmutativa (junto con otras propiedades similares a los números reales) en el mundo real, y no al revés redondo. Muchas cosas en el mundo físico (por ejemplo, rotaciones) no son conmutativas, y por esa razón no usamos números reales para modelarlas. No hay nada inherentemente físico en los números reales.