¿Cuál es la prueba para la fórmula [matemáticas] m_1 m_2 = -1 [/ matemáticas], donde [matemáticas] m_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] m_2 [/ matemáticas] son ​​las pendientes de las líneas perpendiculares [matemáticas] L_1 [/ matemática] y [matemática] L_2 [/ matemática] y [matemática] L_1 [/ matemática] ¿no es una línea vertical u horizontal?

Answer 1

La respuesta de Prahar es correcta, pero creo que algo más compleja de lo necesario. Aquí hay una forma más conceptual de entender esto, evitando la trigonometría y apoyando una comprensión más clara del significado geométrico simple de “pendiente” (o “gradiente”). (Mi respuesta es mucho más prolija, pero esto es solo por claridad: el concepto es realmente simple una vez que lo dibujas).

Veamos un caso especial simple que revela el patrón general.

Supongamos que la primera línea tiene una pendiente de 2/5. Qué significa eso? Significa que por cada 5 pasos a la derecha, sube 2 pasos hacia arriba.

¿Qué haría una línea perpendicular? Bueno, haga lo que haga, si giramos todo el avión un cuarto de vuelta, la segunda línea se fusiona con la primera. Pero esa rotación desplaza “pasos hacia abajo” a “pasos correctos” y “pasos a la derecha” a “pasos hacia arriba”. Por lo tanto, nuestra línea perpendicular necesita soltar 5 pasos por cada 2 pasos a la derecha. En otras palabras, tiene pendiente -5/2.

¿El producto? 2/5 x -5/2 = -1.

Obviamente esto no es una coincidencia.

Deje que la primera línea tenga pendiente [matemática] a / b [/ matemática], lo que significa que sube unidades [matemática] a [/ matemática] cuando se mueve hacia la derecha unidades [matemática] b [/ matemática]. Primero suponga que [math] a [/ math] es positivo, por lo que la línea se inclina hacia arriba (gradiente positivo). La línea perpendicular necesita soltar las unidades [matemática] b [/ matemática] por cada unidad [matemática] a [/ matemática] a la derecha, o en otras palabras, “sube” unidades [matemática] -b [/ matemática], y por lo tanto tiene una pendiente de [math] -b / a [/ math]. El caso cuando [math] a [/ math] es negativo, con la línea perpendicular ahora subiendo [math] b [/ math] unidades por cada [math] | a | [/ math] unidades a la derecha, que es pendiente [matemática] b / (- a) [/ matemática].

En ambos casos, la pendiente perpendicular es [matemática] -b / a [/ matemática], y el producto de las pendientes es [matemática] -1 [/ matemática].

Answer 2

En realidad, esto es mucho más fácil de entender si lo miras con los conceptos apropiados para la geometría de dimensiones superiores. Permítanme citar una de mis respuestas anteriores sobre un tema relacionado para la explicación relevante:

Necesito un poco de geometría vectorial para describir lo que está sucediendo aquí. Un vector es una lista de coordenadas [math] \ vec {x} = (x_1, x_2, \ dots, x_n) [/ math], y se le dan dos vectores [math] \ vec {x} = (x_1, x_2, \ puntos, x_n) [/ math] y [math] \ vec {y} = (y_1, y_2, \ dots, y_n) [/ math] de igual longitud, podemos definir algo llamado producto punto por [math] \ vec {x} \ cdot \ vec {y} = x_1y_1 + x_2y_2 + \ dots + x_ny_n [/ math]. La clave para saber sobre los productos de puntos es que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto de puntos es igual a cero.

Con eso fuera del camino, consideremos una línea a través del origen cuya ecuación está dada por [math] ax + by = 0 [/ math]. Si [math] b [/ math] no es cero, puede ver que esto tiene una pendiente de [math] – \ frac {a} {b} [/ math], pero a la luz de la discusión anterior, también puede ver como el conjunto de puntos que son perpendiculares al vector [math] (a, b) [/ math] cuando se interpretan como vectores. Por razones históricas, [math] (a, b) [/ math] se llama el vector normal de la línea.

Si dos líneas [matemáticas] ax + by = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] cx + dy = 0 [/ matemáticas] son ​​perpendiculares, entonces no creo que sea demasiado difícil creer que [matemáticas] (a, b ) [/ math] y [math] (c, d) [/ math] también son perpendiculares. Por lo tanto, dos líneas a través del origen son perpendiculares si y solo si sus vectores normales son perpendiculares. En realidad, esto funciona para líneas que no pasan por el origen, pero el razonamiento es un poco más complicado, por lo que lo dejaré como un ejercicio para el lector.

Sabemos que las líneas especificadas por [math] ax + by = 0 [/ math] y [math] cx + dy = 0 [/ math] son ​​perpendiculares si y solo si [math] ac + bd = 0 [/ math] . Si suponemos que [math] abcd \ neq 0 [/ math], entonces es una simple reorganización para mostrar que [math] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = -1 [/ matemáticas].

Answer 3

Con referencia al diagrama anterior, [math] \ displaystyle m_1 = \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a} [/ math]

y [matemáticas] \ displaystyle m_2 = \ tan (\ pi – \ phi) = -tan (\ phi) = – \ frac {a} {b} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle m_1 m_2 = \ frac {b} {a} (- \ frac {a} {b}) = -1 [/ matemáticas]

Answer 4

Gradiente de una línea = tan (ángulo que esa línea forma con el eje x). Supongamos que llamamos a este ángulo [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] y denotamos el gradiente con [matemáticas] m [/ matemáticas]

Para la línea 1, tenemos
[matemáticas] m_1 = \ tan \ theta_1 [/ matemáticas]
Para la línea 2, tenemos
[matemáticas] m_2 = \ tan \ theta_2 [/ matemáticas]
Pero, la línea 1 es perpendicular a la línea 2. Así [matemáticas] | \ theta_1 – \ theta_2 | = \ frac {\ pi} {2} \ implica \ theta_2 = \ theta_1 \ pm \ frac {\ pi} {2} [/ math].

Entonces encontramos
[matemáticas] m_1 m_2 = \ tan \ theta_1 \ tan \ theta_2 [/ matemáticas]
[math] = \ tan \ theta_1 \ tan \ left (\ theta_1 \ pm \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ math]
[matemáticas] = – \ tan \ theta_1 \ cot \ theta_1 = -1 [/ matemáticas]

Answer 5

El ángulo entre las dos líneas viene dado por
donde m1 y m2 son las pendientes de las líneas dadas.

entonces, si las dos líneas son prependiculares, podemos poner theta igual a 90 grados y eso hace que el infinito sea tan. Para que eso suceda, el denominador debe ser 0.

entonces 1+ m1.m2 = 0 Por lo tanto, m1m2 = -1