¿La geometría euclidiana es inconsistente?

Answer 1

Hay un axioma de continuidad que Hilbert (1862-1943) usó en su caracterización de la geometría euclidiana que va más allá de lo que hizo Euclides. Era esencialmente el axioma de integridad de Dedekind para los números reales traducidos a la forma geométrica.

Alfred Tarski (1901–1983)

Tarski restringió ese axioma de integridad. Los axiomas de Tarski son suficientes para la geometría euclidiana. Sin embargo, no hay variables para los números, por lo que la teoría de números euclidianos no está cubierta por ella. (Por lo tanto, el teorema de incompletitud de Gödel no se aplica).

Tarski demostró que la geometría euclidiana es consistente, completa y decidible.

Ver su artículo “¿Qué es la geometría elemental?” El método axiomático, con referencia especial a la geometría y la física (1959): 16-29, en la página de Corelab

Answer 2

A diferencia de la geometría proyectiva, no hay modelos finitos para los axiomas de Hilbert para el espacio euclidiano. Por lo tanto, probablemente no haya una prueba absoluta de consistencia. Sin embargo, la geometría euclidiana es tan consistente como una teoría formalizada de números reales. Esa es una noción de consistencia relativa, pero tendrá que hacerlo.