¿Cómo se deriva la identidad de suma de ángulos para coseno, [matemática] \ cos (\ alpha \ pm \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta \ mp \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ math]? Educación te da un futuro mejor

Hay mejores pruebas para esto, pero aquí hay una geométrica.

Esto se puede probar usando la Ley de cosenos y la Fórmula de distancia.

Por falta de una mejor imagen, usaremos este círculo unitario:

(Perdón si la imagen no ayuda mucho. No soy demasiado bueno con LaTeX. Con suerte, alguien que tenga más conocimiento de LaTeX o alguien que encuentre una mejor imagen me ayudará aquí).

Ignoraremos el rayo medio que está en el diagrama.

¿Por qué el producto cruzado existe solo en tres y siete dimensiones?
¿Hay alguna lógica en la geometría de las pinturas de ‘Composición’ de Piet Mondrian?
¿Cuál es la ecuación de una espiral en el plano XY con su centro final o punto de colapso en el origen? ¿Y cuál es la ecuación de nuestras espirales de galaxias de la Vía Láctea?
Vemos un plano 2D. La perspectiva agrega una intuición 3D a la 2D. Si de alguna manera extraña tuviéramos una visión 3D o esférica (pudiéramos ver objetos 3D en todas las perspectivas al mismo tiempo), ¿podría haber una manera de tener algo similar a la “perspectiva” que nos permitiera tener una intuición 4D? Y si eso fuera así, ¿cómo debería ser la visión esférica 3D, de adentro hacia afuera (como si solo fuéramos un ojo que mirara en todas las direcciones), o de afuera hacia adentro (podríamos mirar las cosas que los rodean)? O debería ser un visión simultánea de adentro hacia afuera y de afuera hacia adentro?
El área de un rectángulo es de 240 cm cuadrados y el rectángulo dado está formado por 5 rectángulos idénticos, ¿cuál será el perímetro del rectángulo?

Llamemos al segmento A más a la izquierda y al segmento B más a la derecha para ser concisos más adelante.

El punto donde el segmento A se cruza con el círculo es [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] mientras que el punto donde el segmento B interseca el círculo es [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática].
La medida del ángulo con el rayo A es [matemática] \ alpha [/ matemática] y el rayo angular B es [matemática] \ beta [/ matemática].

Allí, ahora definimos nuestras variables.

Intentemos encontrar la distancia entre [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_2, y_2) [/ matemáticas].

Existe un triángulo en esta imagen. El origen, [math] (x_1, y_1) [/ math] y [math] (x_2, y_2) [/ math] forman este triángulo. Por lo tanto, podemos usar la Ley de los cosenos para encontrar la distancia entre los dos puntos. Sin embargo, ¿cómo sabemos el ángulo entre el segmento A y B? Bueno, el segmento A es [matemático] \ alpha [/ matemático] y el segmento B es [matemático] \ beta [/ matemático], por lo que el ángulo entre ellos es solo [matemático] \ alfa – \ beta [/ matemático]. También sabemos que la longitud de A y B es 1 ya que este es un círculo unitario y A y B son técnicamente radios.

Entonces, aplicando la Ley de cosenos, obtenemos que la distancia entre [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_2, y_2) [/ matemáticas] es

[matemáticas] d ^ 2 = 2 – 2 \ cos (\ alpha – \ beta) [/ matemáticas]

¿De qué otra forma podemos encontrar [matemáticas] d [/ matemáticas]? Fórmula de distancia, por supuesto. Pero, ¿cómo usamos eso aquí?

Recuerde que en el círculo unitario, [matemática] \ cos \ theta = x [/ matemática] y [matemática] \ sin \ theta = y [/ matemática]. Entonces, podemos reemplazar los puntos que definimos anteriormente en términos de seno y coseno para hacer las cosas más agradables.

[math] (x_1, y_1) = (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) [/ math] (Esto se debe a que este punto hace referencia al segmento A, que tiene un ángulo de [math] \ alpha [/ math])
[matemáticas] (x_2, y_2) = (\ cos \ beta, \ sin \ beta) [/ matemáticas]

Ahora, aplicando la fórmula de la distancia, tenemos

[matemáticas] d ^ 2 = (\ cos \ alpha – \ cos \ beta) ^ 2 + (\ sin \ alpha – \ sin \ beta) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora tenemos dos ecuaciones que equivalen a [matemáticas] d ^ 2 [/ matemáticas]. Póngalos iguales entre sí, y después de reorganizarlos y expandirlos, obtendrá [matemática] \ cos (\ alpha – \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta
[/matemáticas]

Reorganizando y expandiendo, obtenemos
[matemáticas] \ cos (\ alpha – \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ matemáticas]

Para obtener la suma de cosenos, tenga en cuenta que
[matemáticas] \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha – (- \ beta)) [/ matemáticas]
y aplica la diferencia de cosenos.