¿Por qué el producto cruzado existe solo en tres y siete dimensiones?

Answer 1

Es posible que le hayan enseñado que el producto cruzado es una operación que toma dos vectores y devuelve un tercero. Esta es una mentira directamente desde los pozos del infierno. Tres dimensiones es simplemente el caso donde esta mentira es posible (más en 7 dimensiones en la parte inferior).

¿Que quiero decir? Como no puedo dibujar muy bien o rápidamente, voy a pedirle que haga algunos productos cruzados de vectores usted mismo. Haga dos vectores con dos de sus dedos / pulgares (preferiblemente en su mano derecha, de lo contrario podría aplicar mal la regla de la mano derecha). Luego forma el producto cruzado con tu pulgar. Bien, deja tu mano así.

Ahora, párate frente a un espejo y finge que el espejo que eres es una persona parada frente a ti. Mira la mano de tu doppelganger. ¿Es el pulgar el producto cruzado de los dos dedos? (No hagas trampa; resuelve esto en tu cabeza). La respuesta es no . El pulgar apunta en la dirección incorrecta para ser el producto cruzado. ¡El doppelganger que estás tratando de usar la regla de la mano derecha con su mano izquierda! Doppelganger tonto.

La razón es que la definición del producto cruzado depende de un sistema de coordenadas diestro y bajo una transformación de paridad, donde cada coordenada se envía a su negativo (el espejo en realidad solo hace esto para una coordenada, pero está lo suficientemente cerca; un la transformación de paridad real sería un reflejo del espejo seguido de una rotación de 180 grados), un sistema de coordenadas diestro se convierte en un sistema de coordenadas zurdo. (Esta transformación de paridad también envía el vector a su negativo, lo que tiene sentido ya que puede pensarse que el vector apunta de un punto a otro, los puntos han cambiado de lugar). Escribamos la transformación de paridad usando el operador de paridad P. Luego

[matemática] P (x, y, z) = (-x, -y, -z) [/ matemática]
[matemáticas] P \ vec v = – \ vec v [/ matemáticas]
[matemáticas] P \ alpha = \ alpha [/ matemáticas] (es decir, no cambia escalares)

Luego se sigue inmediatamente eso, dejando que [math] \ vec w = \ vec u \ times \ vec v [/ math],

[matemáticas] P \ vec u \ times P \ vec v = – P \ vec w \ neq P \ vec w [/ math]

(excepto en el caso de que el producto cruzado sea el vector cero).

“¿Importa esto?”, Podrías preguntarte. “¡Muchas cosas pueden cambiar cuando hago una transformación de paridad!” En realidad lo hace. Cuando estudiamos un espacio de geometría, realmente no queremos pensar en él como una colección de coordenadas (x, y, z) y vectores , ya que estos números dependen de nuestro sistema de coordenadas. Hay muchos sistemas de coordenadas posibles, que pueden diferir al hacer que el origen se traduzca un cierto desplazamiento o se gire uno con respecto al otro. Todas las operaciones normales que utilizamos (suma de vectores, multiplicación escalar, el producto de puntos vectoriales y (en este caso) el producto cruzado de vectores) no dependen de la ubicación de nuestro origen o la rotación relativa del sistema de coordenadas. Es decir, si A representa alguna transformación afín (combinación de rotación y traslación),

[matemáticas] A \ vec u + A \ vec v = A (\ vec u + \ vec v) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ alpha A \ vec v = A (\ alpha \ vec v) [/ math]
[matemáticas] A \ vec u \ cdot A \ vec v = A (\ vec u \ cdot \ vec v) = \ vec u \ cdot \ vec v [/ math]
[matemáticas] A \ vec u \ times A \ vec v = A (\ vec u \ times \ vec v) [/ math]

Sin embargo, la orientación de nuestro sistema de coordenadas (diestro versus zurdo) también es una elección arbitraria. Si bien la suma vectorial, la multiplicación escalar y el producto escalar son invariables bajo un cambio de paridad, el producto cruzado no es:

[matemáticas] P \ vec u + P \ vec v = P (\ vec u + \ vec v) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ alpha P \ vec v = P (\ alpha \ vec v) [/ math]
[matemáticas] P \ vec u \ cdot P \ vec v = P (\ vec u \ cdot \ vec v) = \ vec u \ cdot \ vec v [/ math]
[matemáticas] P \ vec u \ times P \ vec v \ neq P (\ vec u \ times \ vec v) [/ math]

Entonces, dado que depende de nuestras coordenadas y no simplemente de la geometría que estamos viendo, el producto cruzado no es una operación que toma inequívocamente dos vectores y devuelve un tercero.

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Entonces, ¿cuál es realmente el producto cruzado y qué hace? Es una bastarización (conveniente) de la operación que toma dos vectores y devuelve una entidad que, en esencia, describe el paralelogramo hecho por los dos vectores (esto no es del todo correcto pero no quiero profundizar mucho en esto) . Esta operación se llama el producto de cuña y es una herramienta en la teoría de álgebra exterior / geometría diferencial (Google para explicaciones más detalladas y menos manuales, puede haber algunas aquí en Quora). Existe para cualquier cantidad de dimensiones. En general, dentro del espacio n-dimensional, toma dos objetos k-dimensionales y devuelve una entidad (k + 1) -dimensional.

Sucede que en tres dimensiones, donde un paralelogramo es solo 1 dimensión menor que el número total de dimensiones, él y su orientación pueden especificarse mediante un vector normal. Solo hay una ambigüedad: hay dos vectores normales que salen a cada lado del avión. Se debe elegir alguna convención para codificar la orientación del paralelogramo en uno de los dos vectores normales, y por fiat se eligió la regla de la mano derecha . Así nació el producto cruzado: tome el producto de la cuña de dos vectores para obtener un paralelogramo orientado, y luego encuentre la mano derecha normal a este paralelogramo (la longitud del vector es igual al área del paralelogramo, tal vez dividida por 2 o algo) – llame a eso el producto cruzado de los dos. (Este reparto desde el paralelogramo 2D a un vector 1D es un ejemplo del Hodge dual , otra operación de álgebra exterior). Debido a la ambigüedad con respecto a qué normal debe elegirse, el producto cruzado no es invariable bajo una transformación de paridad. Es una simplificación falsa de una operación matemática real (y mucho más hermosa).

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No tengo idea de qué es esta cosa de 7 dimensiones. El producto de cuña de dos vectores en el espacio 7D es un objeto 2D cuyo Hodge dual es un objeto 5D. Según la respuesta de Ben Zax, parece que esto tiene algo que ver con los cuaterniones u octoniones. La idea es que, de alguna manera, el producto cruzado en 3D está relacionado con el álgebra de quaternion, por lo que puede generalizarse a dimensiones superiores de la misma manera que el álgebra de quaternion se generaliza a los octoniones.

Quiero enfatizar que este no es el punto de vista moderno de la geometría. La geometría diferencial y el álgebra exterior se utilizan para describir entidades geométricas de forma independiente y coordinada. Sucede que una operación geométrica corresponde accidentalmente a la multiplicación de cuaterniones (una afirmación bastante audaz, lo admito). A fines de 1800 y principios de 1900, hubo mucho esfuerzo para moldear la geometría en términos de álgebra de quaternion, y un poco de ese trabajo se ha continuado hasta nuestros días. Sin embargo, hace mucho tiempo se dio cuenta de que este era simplemente el álgebra incorrecta para usar en geometría si realmente quería comprender las cosas y generalizar la geometría a un número arbitrario de dimensiones. El producto de cuña funciona en cualquier dimensión , mientras que el uso de la semejanza accidental del cuaternión solo te da uno más (7).

Hay muchas áreas en matemáticas donde los diferentes conceptos se superponen en ciertos casos de maneras extremadamente fascinantes. Sin embargo, aún es importante tener una comprensión saludable de cuándo las relaciones son conceptualmente importantes y cuáles son las curiosidades.

Editar: Gracias Leo C. Stein y Andrea Klein por algunas correcciones con respecto a los sedoniones (eliminé las referencias a ellos) y los errores tipográficos. Además, debería haber señalado que la operación de los afines y las paridades en un escalar debería ser la identidad.

Answer 2

Esta respuesta se basa en la propiedad de que el producto cruzado de dos vectores debería devolver un tercer vector perpendicular, y solo explica por qué 2,4,5 y 6 no funcionan.

Las dimensiones 0 y 1 tienen productos cruzados triviales.

Considere el 2d espacio. ¡Dos vectores no tienen un tercer vector perpendicular, porque no hay suficientes dimensiones!

Tres es perfecto Para cualquiera de los dos vectores, puede encontrar un tercero que es perpendicular.

Ahora suponga que tiene más dimensiones. Entonces, hay un nuevo vector que es perpendicular a cada uno de los ejes x, y, z. (Esto implica al menos 4d). Llámalo w.

El producto cruzado de x y w da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a xy w. De hecho, ¡es perpendicular a y y z también! S el dim es al menos 5 debido a este vector xxw. El producto cruzado de y y w genera una nueva dimensión, y también lo hace el producto cruzado de z y w.

Entonces ya tenemos 7 dimensiones:

x, y, z, w, xxw, yxw, zxw son todos ortogonales.

Omitimos 4,5 y 6 porque desde 3D tan pronto como aumentamos la dimensión en 1 (3–> 4), necesitábamos agregar otras dimensiones para cada dimensión que ya teníamos (3 + 1 + 3 = 7).

Answer 3

El producto cruzado estándar se puede interpretar de varias maneras. Algunas de las formas comunes de interpretarlo son:
1. En términos de formas dobles / volumen de Hodge como explica Jack a continuación.
2. En términos de una estructura de soporte de mentira.
3. En términos de multiplicación cuaterniónica.

La interacción entre diferentes interpretaciones del mismo objeto es lo que hace que las matemáticas sean tan hermosas. Trataré de explicar las dos últimas interpretaciones y luego responderé tu pregunta.

2. Soportes de mentiras.
Si tengo algún espacio vectorial, puedo pedir un mapa bilineal M que coma dos vectores y escupe un tercer vector. Bilinealidad significa que M (av_1 + bv_2, v_3) = aM (v_1, v_3) + bM (v_2, v_3) (y la misma ecuación con los vectores agregados en el segundo argumento en lugar del primer argumento), donde a y b son escalares y v_1, v_2 y v_3 son vectores. Esto puede reformularse en términos de tensores si sabes cuáles son. Un corchete de Lie es un mapa bilineal de M a sí mismo que satisface dos propiedades: la simetría oblicua y la identidad de Jacobi. La simetría oblicua solo significa M (v, w) = M (w, v) y la identidad de Jacobi dice M (M (u, v), w) + M (M (v, w), u) + M (M ( w, u), v) = 0 (donde notamos que el resultado de M es un vector que puede ser alimentado a M nuevamente con un tercer vector). Debe verificar que el producto cruzado satisfaga todas estas propiedades. Resulta que hay muchos corchetes de Lie diferentes que uno puede definir en un espacio vectorial de cualquier dimensión. Por ejemplo, siempre existe el soporte de mentira trivial que envía cada par de vectores a 0. Hay una clasificación de álgebras de Lie simples que se basa en diagramas de Dynkin. Si no sabe lo que significan estas palabras, no se preocupe, pero sepa que existen muchas estructuras de corchetes de Lie diferentes en todas las dimensiones (para una dimensión lo suficientemente grande). Esta no es la generalización del producto cruzado por el que parece estar preguntando.

3. Álgebras de división sobre los números reales.
Se puede pedir una estructura de multiplicación en un espacio vectorial. Por ejemplo, los números complejos son un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales que viene con la estructura de multiplicación (a, b) punto (c, d) = (ac-bd, ad + bc) (piense en el primer componente como la parte real y el segundo componente como la parte imaginaria). En particular, esta multiplicación es un mapa bilineal. La regla de multiplicación para números complejos es asociativa y conmutativa. Podemos definir una regla similar para la multiplicación de vectores en un espacio real de 4 dimensiones. De manera similar, pensamos en el primer componente como la parte puramente real y los tres componentes restantes como la parte ‘i’, la parte ‘j’ y la parte ‘k’. Bajo esta regla, resulta que ai + bj + ck multiplicado por di + ej + fk (para a, .. f números reales) es precisamente el producto cruzado del vector (a, b, c) con el vector (d, e, f) en ese orden. Observe algunas cosas: en primer lugar, mi vector ai + bj + ck debe considerarse como (0, a, b, c) en el espacio real 4. En segundo lugar, esta regla de multiplicación no es conmutativa. Puede verificar que todavía es asociativo.
Existe un teorema que establece que las únicas operaciones de multiplicación asociativa que se pueden definir en espacios vectoriales sobre los números reales ocurren en las dimensiones 1,2 y 4 (y coinciden con la multiplicación real normal en dim 1, la multiplicación compleja en dim 2 y la multiplicación cuaterniónica). en dim 4). Sin embargo, si relaja la condición de asociatividad para pedir solo algo llamado “alternatividad”, entonces existe precisamente una regla de multiplicación posiblemente más que ocurre en el dim 8. Esta regla es la multiplicación de octoniones y la multiplicación restringida a lo “no real”. parte es lo que se podría definir como el producto cruzado de 7 dimensiones. Los teoremas que prueban que estos son los únicos requieren cierto esfuerzo para probar. Hay una clara prueba de topología algebraica que se puede encontrar en la Topología algebraica de Hatcher (gratuita en línea en el sitio web del autor) que muestra que las únicas multiplicaciones asociativas son las de las dimensiones 1,2 y 4.
EDITAR: Olvidé mencionar que la clasificación es de álgebras de DIVISIÓN, es decir, pedimos un inverso multiplicativo de cada vector.

Answer 4

Jack Wimberly tiene razón al atribuir la salida vectorial del producto cruzado a … tal vez no a Satanás, sino a alguien de la misma organización, tal vez unos niveles más abajo.

Aquí está la versión lowbrow de su explicación: El producto cruzado no es un vector sino un área dirigida. Es como una superficie normal.

¿Como sabes eso? ¡Mira cómo lo calculas! Calcula el producto cruzado utilizando dos campos (contarlos). Cada componente del producto cruzado es un determinante 2 x 2. Un determinante 2 x 2 mide el área de un paralelogramo, nunca la longitud de un vector:

¿Ver? [matemáticas] a_2 b_3 – a_3 b_2 [/ matemáticas], bla, bla, bla. Esos son dos por dos determinantes: áreas. Y se transforman como áreas, no como vectores.

Answer 5

Esto está relacionado con la existencia de generalizaciones de los números complejos en 4 y 8 dimensiones respectivamente. El producto cruzado en tres dimensiones está relacionado con la multiplicación de Quaternions sin componente real, y en siete dimensiones con la multiplicación de Octonions sin componente real.

Answer 6

Soy demasiado tonto para saber la respuesta real a esto, pero que yo sepa, el producto cruzado es una función. Creo que lo que realmente queremos aquí es un vector que tenga un producto de punto de 0 con otros dos vectores. Todos son no triviales (vectores cero). Esto es posible en todas las dimensiones. Mis pensamientos son intentar jugar con matrices aumentadas. O mira los cuadrados mágicos.

Por cierto, puede usar el plano complejo para obtener esos productos punto de cero en dimensiones más altas. No está limitado a 3 y 7 por perpendicularidad.