Ptolomeo (90–168) probó las fórmulas de suma y diferencia usando su teorema.
Cuando los probó, los probó para los acordes, la función trigonométrica que usaba. Ahora usamos senos y cosenos, pero puede modificar sus pruebas ligeramente para mostrar las fórmulas de suma y diferencia para senos y cosenos.
Teorema de Ptolomeo : para un cuadrilátero cíclico (es decir, un cuadrilátero inscrito en un círculo), el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
AC BD = AB CD + AD BC .
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Esencialmente, el teorema de Ptolomeo es la fórmula de suma y diferencia.
Interpretaremos cada una de las líneas AC, BD, AB, CD, AD y BC en términos de senos y cosenos de ángulos para obtener la fórmula de suma de los senos.
Deje que O sea el centro de un círculo de radio 1, y tome una de las líneas, AC , para que sea un diámetro del círculo.
Deje que α sea ∠ BAC . Recuerde que el seno de un ángulo es la mitad del acorde del doble del ángulo. La proposición de Euclides III.20 dice que el ángulo en el centro de un círculo dos veces el ángulo en la circunferencia, por lo tanto, ∠ BOC es igual a 2 α . Por lo tanto, el seno de α es la mitad del acorde de ∠ BOC , por lo que es igual a BC / 2, y entonces BC = 2 sen α .
Deje β ser ∠ CAD . Eso es la mitad de ∠ COD , entonces sin β es igual a CD / 2, y CD = 2 sin β .
Entonces α + β es ∠ MALO , entonces BD = 2 sen ( α + β ).
Todavía tenemos que interpretar AB y AD . El segmento de línea AB es dos veces el seno de ∠ ACB . El triángulo ABC es un triángulo rectángulo según el teorema de Thale (la proposición de Euclides III.31: un ángulo en un semicírculo es recto). Por lo tanto, sen ∠ ACB cos α . Por lo tanto, AB = 2 cos α . Asimismo, AD = 2 cos β .
Ahora podemos escribir el teorema de Ptolomeo, AC BD = AB CD + AD BC , en términos de senos y cosenos como
(2) (2 sin ( α + β )) = (2 cos α) (2 sin β) + (2 cos β) (2 sin α).
Después de dividir por 4, obtenemos la fórmula de suma para senos
sin ( α + β ) = cos α sin β + cos β sin α.
Puede mostrar directamente que la fórmula de suma para cosenos y las dos fórmulas de diferencia se mantienen tomando uno de los segmentos de línea en el teorema de Ptolomeo como el diámetro de un círculo, interpretando los otros como acordes de ángulos centrales, es decir, el doble de los senos de ángulos en la circunferencia, y usando el teorema de Thale para convertir entre senos y cosenos.
Por ejemplo, tome AD para que sea un diámetro, α para que sea ∠ MALO , y β para que sea ∠ CAD , luego puede mostrar directamente la fórmula de diferencia para senos.