Geometría: una tabla de 90 cm de largo solo cabe dentro de una caja de 60 cm de ancho y 80 cm de largo. ¿Qué tan ancho es el tablero?

Answer 1

Deje que la casilla sea [matemática] ABCD [/ matemática] con dimensiones [matemática] a = AB, b = BC [/ matemática], y deje que el tablero sea [matemática] PQRS [/ matemática] con dimensiones [matemática] p = PQ , q = QR [/ matemáticas]. Deje que el círculo circunscrito sobre el tablero se intersecte [matemática] AB, BC [/ matemática] nuevamente en [matemática] T, U [/ matemática]. Sea [math] d = PR = QS [/ math], [math] u = PU = ST [/ math] y [math] v = RU = QT [/ math].

Aplique el teorema de Ptolomeo a tres cuadriláteros cíclicos:

• de [matemática] RSTU [/ matemática], [matemática] pq + uv = ab [/ matemática];
• de [matemática] PURS [/ matemática], [matemática] arriba + vq = ad [/ matemática];
• de [math] TQRS [/ math], [math] vp + uq = bd [/ math].

Además, según el teorema de Pitágoras, [matemáticas] p ^ 2 + q ^ 2 = d ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora podemos derivar una relación entre [matemáticas] a, b, p, q [/ matemáticas]:
[matemáticas] (p ^ 2 + q ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2 – p ^ 2 – q ^ 2) = d ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – d ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (arriba + vq) ^ 2 + (vp + uq) ^ 2 – d ^ 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (u ^ 2 + v ^ 2) (p ^ 2 + q ^ 2) + 4pquv – d ^ 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4pquv [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4pq (ab – pq) [/ matemáticas].

Dado [matemática] a, b, p [/ matemática], esta relación es una ecuación cuártica en [matemática] q [/ matemática]. En nuestro caso con [matemáticas] a = 60, b = 80, p = 90 [/ matemáticas], es
[matemáticas] (8100 + q ^ 2) (1900 – q ^ 2) = 360q (4800 – 90q) [/ matemáticas],
[matemáticas] 0 = q ^ 4 – 26200q ^ 2 + 1728000q – 15390000 [/ matemáticas].

En principio, esto significa que podemos escribir una solución de forma cerrada para [math] q [/ math], pero sería bastante largo y feo:
[matemáticas] \ gamma = \ sqrt [3] {\ frac {4981 + 27i \ sqrt {36447}} {14}}, \ delta = 7 \ gamma + \ frac {448} {\ gamma} +131, [/ math ]
[matemáticas] q = \ frac {10} {\ sqrt 3} \ left (\ sqrt {\ frac {1296 \ sqrt {3}} {\ sqrt {\ delta}} – \ delta + 393} – \ sqrt {\ delta} \ right) [/ math].
Por lo tanto, probablemente nunca escribiríamos esto, sino que estaríamos contentos con una respuesta aproximada [matemáticas] q \ aprox. 10.6037437 [/ matemáticas]. (Descartamos las otras tres soluciones porque son negativas o enormes).

Answer 2

me dejé llevar un poco aquí …

Estas son las notas y pensamientos que hice mientras resolvía el problema, en realidad no los limpié.

En primer lugar, dibujemos algunas imágenes.
Sabemos que el tablero es más largo, por lo que no podemos ajustarlo así.
Probemos la diagonal (y agreguemos qué medidas sabemos, y algunas que no) …
En realidad, los dos tipos de triángulos que estamos obteniendo deben tener los mismos ángulos: agreguemos un alfa en ambos puntos:

Solución 1 (más complicada)

Es posible que desee mirar más abajo para algo más simple.

¿Los mismos ángulos, dijimos? Luego, debe haber relaciones entre los lados de los triángulos: el grande, que tiene lados 90, 80-y y 60-x, frente a x, y, yw, de modo que
[matemáticas] \ frac {90} {w} = \ frac {60-x} {y} = \ frac {80-y} {x} [/ matemáticas].
Multipliquemos con algunos denominadores para que no tengamos que lidiar con fracciones:
[matemática] 90xy = (60-x) wx = (80-y) wy [/ math]
Pero es muy posible que tengamos que lidiar también con el teorema de Pitágoras, ya que las tres incógnitas realmente generan demasiadas, por lo que es posible que deseemos mirar cuadrados:
[matemática] 90 ^ 2x ^ 2y ^ 2 = (60-x) ^ 2w ^ 2x ^ 2 = (80-y) ^ 2w ^ 2y ^ 2 [/ matemática], y por cierto: [matemática] y ^ 2 = w ^ 2-x ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces: [matemáticas] 8100 (w ^ 2-x ^ 2) = (60-x) ^ 2w ^ 2 [/ matemáticas]
O: [matemática] 8100 (w ^ 2-x ^ 2) = w ^ 2 (3600-120x + x ^ 2) [/ matemática] (no parece que la x ^ 2 haya hecho algo bueno allí, y podría ser eliminado de nuevo)
Ahora estamos llegando a alguna parte. Ahora necesitamos limpiar esa última ecuación para ver qué está sucediendo realmente:
[matemática] w ^ 2 (4500 + 120x-x ^ 2) = 8100x ^ 2 [/ matemática]
Entonces obtenemos una relación entre x y w:
[matemáticas] w ^ 2 = \ frac {8100x ^ 2} {4500 + 120x-x ^ 2} [/ matemáticas]
¿Esto nos dice algo? Bueno, sabemos que x es positivo: si hubiera sido cero, el tablero habría ido de esquina a esquina y, por lo tanto, de ancho cero (la ecuación parece no estar en desacuerdo), y que no puede ser demasiado grande, el tablero no no encaja, y la ecuación nos dice que [matemática] w ^ 2 [/ matemática] se volvería negativa, lo cual no es realmente plausible.
Entonces, para cada x , podemos determinar w , y por lo tanto y , pero esto no garantiza que las cuatro esquinas estén en contacto con la caja, y eso significa que todavía está suelta.

Entonces, cómo evitar esto:

Los dos triángulos rojos son idénticos: lados x, y, w .

La medida horizontal se ajusta, porque comparamos, al principio, x, y, w con 90 y 60-x , pero nunca incluimos la expresión que involucra 80-y . Entonces, configuremos la ecuación similar para w e y :
[matemáticas] 8100 (w ^ 2-y ^ 2) = (80-y) ^ 2w ^ 2 [/ matemáticas]
O: [matemáticas] 8100 (w ^ 2-y ^ 2) = w ^ 2 (6400-160y + y ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] w ^ 2 (1700 + 160y-y ^ 2) = 8100y ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces obtenemos una relación entre yw:
[matemáticas] w ^ 2 = \ frac {8100y ^ 2} {1700 + 160y-y ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces, ¿qué tenemos ahora (alguna reescritura):
[matemáticas] 8100w ^ {- 2} = 4500x ^ {- 2} + 120x ^ {- 1} -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 8100w ^ {- 2} = 1700y ^ {- 2} + 160y ^ {- 1} -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] w ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} [/ matemáticas]

3 incógnitas y 3 ecuaciones, pero no lineales. Esto podría requerir una solución numérica. Pensaré más sobre si hay alguna forma de reelaborar esto en una solución analítica.
Wolfram | Alpha da, después de un poco de insistencia y desprecio por muchas respuestas espurias, la respuesta:
x = 8.71cm
y = 6.04cm
w = 10.60cm
¡Estos números aún no están verificados! (Pero se está haciendo muy tarde aquí, continuará más tarde).

Con una gran reserva por errores!

Solución 2 (más fácil)

Las diagonales del tablero son [math] \ sqrt {8100 + w ^ 2} [/ math].

Aquí uso simetría: los dos triángulos pequeños son del mismo tamaño.

Ahora, una diagonal también se puede escribir como
[matemáticas] \ sqrt {60 ^ 2 + (80-2y) ^ 2} [/ matemáticas]
y el otro
[matemáticas] \ sqrt {80 ^ 2 + (60-2x) ^ 2} [/ matemáticas]
Encuadre y recolección todavía obtenemos un sistema no lineal de ecuaciones, pero uno que se ve un poco mejor:
[matemáticas] w ^ 2 = 60 ^ 2-90 ^ 2 + (80-2y) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] w ^ 2 = 80 ^ 2-90 ^ 2 + (60-2x) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] w ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]
Wolfram | Alpha da la misma respuesta a este sistema de ecuaciones que al sistema en la solución 1:
x = 8.71cm
y = 6.04cm
w = 10.60cm

Answer 3

Antes de concentrarse en los detalles, una aproximación de ingeniería rápida y sucia puede estimar la respuesta.

Coloque la tabla de manera que su lado de 90 cm quede paralelo a la diagonal. Esto formará dos triángulos grandes de 90 grados y dos pequeños. Como la diagonal de la caja es de 100 cm de largo, los lados de los triángulos pequeños serán 1/10 de 60 cm y 1/10 de 80 cm, resp. El ancho del tablero se encuentra como [math] \ sqrt {6 ^ 2 + 8 ^ 2} = 10 [/ math].

Este es un límite inferior, pero no se ve muy lejos.
Las soluciones detalladas en otras respuestas lo demuestran.

Answer 4

Las otras respuestas son impresionantes y precisas si supone que el tablero debe estar plano. No proporcionó una dimensión de altura para el cuadro, pero el ancho puede ser claramente mayor si utiliza la dimensión adicional.