Geometría: ¿Cuál es el triángulo con el área más pequeña que encierra un cuadrado?

Answer 1

Consideremos primero un cuadrilátero (polígono de 4 lados) que encierra un cuadrado y tiene la esquina de un cuadrado tocando cada uno de sus lados. Curiosamente, este polígono tiene un área de más del doble del área del cuadrado. Para probar esto, solo necesita doblar todas las partes del cuadrilátero fuera del cuadrado (que son cuatro triángulos). Dado que los ángulos vecinos de los cuatro triángulos suman 90 grados, las partes plegadas coincidirán perfectamente y recrearán el cuadrado original con un pequeño cuadrilátero izquierdo. (Con mucho gusto agregaré una imagen de esto si alguien lo solicita).

Ahora volvamos al problema que ha preguntado. Una técnica para encontrar el triángulo más pequeño de cierto tipo es elegir un triángulo aleatorio y encogerlo. Dibuja cualquier triángulo que encierra un cuadrado y encogelo. Te darás cuenta de que es posible reducir el triángulo hasta que haya al menos un punto que se encuentre a cada lado del triángulo.

Aquí está la parte genial. Si hay una esquina en el cuadrado que no está incluida en el perímetro del triángulo, corte el triángulo de manera arbitraria para convertirlo en un cuadrángulo que pase por todas las esquinas del cuadrado. Voila! Según el lema mencionado anteriormente, ahora sabemos que el límite inferior del área del triángulo es el doble del área del cuadrado.

Dado que conocemos el límite inferior del área, ahora solo tenemos que mostrar que existe un triángulo de este tipo, que ya está hecho en una de las imágenes que ha subido.
(Para ser más específicos, si y solo si un triángulo tiene lados que incluyen dos esquinas del cuadrado, es el triángulo con el área más pequeña que encierra un cuadrado).

Notifíqueme si estoy usando alguna expresión incómoda de cualquier tipo en inglés.

-Editar-: Aparentemente mi primer intento de responder esta pregunta fue incorrecto. Perdon por el inconveniente. 🙂

Answer 2

Muestre que al menos un lado del triángulo debe coincidir con un lado del cuadrado, luego muestre que desde esta base, un triángulo de altura 2xlongitud es el triángulo más pequeño por área.